A estas alturas, a todos y cada uno de los cuales sigan estas reseñas (y a muchos otros, por supuesto), le sonará eso de los Problemas del Milenio, (ver, por servirnos de un ejemplo 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ). Ciertos un tanto más apasionados por nuestra disciplina conocerán Asimismo los 23 problemas de Hilbert (realmente 24, Según se reveló más adelante), ciertos Todavía tampoco resueltos (y ciertos dentro de los incidentes del milenio). Un conjunto Todavía menor (los asiduos a ésta y otras columnas de divulgación matemática se sostienen dentro) va a disponer noticia de otros inconvenientes más técnicos tampoco resueltos aún (el de el monto de tres cubos, la conjetura de Goldbach, la de Collatz, y tantas otras de teoría de números). El jornada de hoy les paso a enunciar uno de tipo geométrico (Asimismo quedan muchas interrogantes de esta rama de las matemáticas, planteadas, No obstante sin solución, aún). Recientemente he visto publicado en redes sociales La próxima imagen de un cubo con tres longitudes con expresiones de raíces cuadradas (nótese que Sólo dos de ellas son en realidad números irracionales): Tal y como curiosidad no está mal, Pero lo en realidad interesante no es esto, Sino más bien más bien responder a esta, aparentemente fácil pregunta: ¿Existe un ladrillo de Euler perfecto? Un ladrillo de Euler no es más que un paralelepípedo rectangular (en otros términos una caja de zapatos para que todo el planeta lo entienda) cuyos lados (a, b, c, Conforme la imagen adjunta) y las diagonales de sus caras (d, y Asimismo, f) tengan una longitud entera. Hay ejemplos de muchos ladrillos de Euler. Por poner un ejemplo, el hallado por el matemático, profesor de aritmética y creador de calendarios alemán Paul Halcke en 1719: a = 240, b = 117, c = 44. d = 267, y De la misma forma = 244, f = 125 o bien a = 140, b = 480, c = 693. d = 500, y Asimismo = 707, f = 843 Son famosos otros valores, incluso alguna expresión general, Si bien no recoge todas y cada una y cada una de las posibles. Una caja perfecta sería aquella para la que a su vez la longitud de la diagonal g fuese Además un valor entero. En los ejemplos anteriores se comprueba que la longitud de esa diagonal g es, respectivamente, Parece sencillo, ¿verdad? Porque ni se sabe si es que existe (Porque no se ha encontrado ninguno Hasta ahora), ni se ha encontrado una prueba de que no exista. Hay ejemplos en los cuales la diagonal g es entera, Pero falla alguna de las otras, Así tal como es el caso de a = 672, b = 153, c = 104, y De la misma forma = 680, f = 185, g = 697 para el que No obstante d = Por este motivo, se han definido tres géneros de cuboides semi-perfectos, en dependencia de cuál sea el lado irracional: cuboide cuerpo (si es que la diagonal g es irracional), cuboide cara (si es que alguna de las diagonales d, y Además, f es irracional) y cuboide arista (si es que a, b, o bien c son irracionales). Hace tiempo se probó que, de existir, el cuboide perfecto debería contar un lado menor de una longitud mayor a 2^32 (= 4.294.967.296). En 2018 Randall L. Rathbun, A través de un exhaustivo rastreo informático, publicó una lista con los 160.594 cuboides que Encontró, considerando el lado menor con valores entre 44 y 1,76 x 10^11. Por consiguiente, si alguno se anima, deberían comenzar considerando valores mayores que ése. El problema es equivalente a localizar siete números enteros a, b, c, d, y De la misma forma, f, g, que verifiquen las ecuaciones Los que si existen, y se han descrito muchos, son paralelepípedos perfectos (También famosos Del mismo modo que paralelepípedos diofánticos). Son aquellos para los que no exigimos que los ángulos de sus caras sean rectos. Examinando los tres ángulos que existen en los ocho vértices de los paralelepípedos diofánticos se han descubierto cinco tipos únicos. Una busca A través de ordenador de 1.981.336.681 tetraedros con seis diagonales racionales en sus caras ha contado ejemplos interesantes, incluido el paralelepípedo perfecto de Sawyer-Reiter (al lado de otros cinco), y el cuboide rectangular. Además se han descubierto otras maneras prismáticas interesantes en las 115 categorías que revelaron las búsquedas por computadora. En el horario uno lee la magnitud de datos Del mismo modo que éstos, cavila unos minutos y llega a la conclusión de que entonces es bastante improbable que exista ese ladrillo de Euler perfecto. Si bien, Mientras no se encuentre una demostración de esa no existencia, la problemática permanecerá siendo un enigma. Por no desamparar flecos, Puesto que lo he mencionado, en 2009 los norteamericanos Jorge Sawyer y Clifford A. Reiter dieron el paralelepípedo de lados 271, 106, 103, diagonales de las caras 101 y 183, 266 y 312, 255 y 323, y diagonales del cuerpo 374, 300, 278 y 272 (recuérdese que, al no tener ángulos rectos, tiene cuatro de esas diagonales en sitio de dos). A diario nos encontramos muchos objetos de estas características (cajas de zapatos y de otros contenidos, envases de leche, ladrillos de álbum, cajones, aun libros). ¿Se animan a tomar medidas de ellos a ver si tienen las siete longitudes descritas enteras, racionales o irracionales? ¿Cuál abunda más? ¿Son óptimas (en el sentido de menor volumen de material que encierre el mayor cantidad posible)? Seguramente pueda resultar una actividad motivadora para una clase de secundaria planteada De La misma manera que enseñanza basada en proyectos… Los teselados uniformes
En los comentarios de la última entrada que redacté sobre los teselados, un lector comentaba que había encontrado Algunas configuraciones que no se citaban en el publicación (permutaciones de dos mencionadas). Efectivamente, cualquier reordenación de las citadas rellena el plano (suma 360º); Aunque, no todas y cada una y cada una de las posibilidades proporcionan teselados semirregulares. En verdad, en el artículo se describían todas y cada una de las posibilidades existentes. La razón de que no sirva cualquier permutación de las dadas es la propia definición de los mosaicos semirregulares o de Arquímedes. Revisando el texto, en efecto, no está perfectamente descrita, pues Solo se señala que resultan de la combinación de distintos polígonos regulares. Pero, a su vez, debería haber expresado que en cada vértice la predisposición de los polígonos ha de ser exactamente la misma. O BIEN sea, en todos y cada uno de los vértices tiene que aparecer exactamente los mismos polígonos y en exactamente el mismo mandato. Es lo cual tiene por nombre teselado uniforme (hablando técnicamente, tiene que haber transitividad en los vértices). Los propuestos por el lector, {3,4, 4, 6} y {3, 3, 6, 6}, son no uniformes, Porque si se fija en dos vértices consecutivos, no tiene La misma distribución. Veamos un ejemplo: En el teselado de la imagen, con triángulos, cuadrados y dodecágonos, o bien sea, {3, 3, 4, 12}, fijémonos en el lado superior del dodecágono. En el vértice de la derecha, el marcado con el punto de color rojo, la configuración que vemos es {4, 3, 3, 12} ¿todo el mundo lo ve? Si miramos ahora el próxima vértice del dodecágono, el marcado con un punto azul, la configuración es {3, 3, 4,12}. Es evidente que es una disposición distinta. Es, por lo tanto, un teselado no uniforme. Existen muchos más teselados del plano: por polígonos irregulares, con cóncavos y convexos, por deformación de los precedentes, A través de un polígono concreto cuyos ángulos rellenen perfectamente el plano (pentágonos casita, por servirnos de un ejemplo). En esta misma sección lo hemos comentado Múltiples veces, incluyendo la existencia de todos los Conjuntos posibles de simetría de La Alhambra (el único monumento en el planeta que yo conozca donde están todos). Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.