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La ley Benford: ¿Por qué hay más números que comienzan por uno que por otro dígito?

Si tomamos una fuente de data basada en números que figuran en la vida cotidiana, Al igual que pueden ser, el importe de las facturas de la luz, los números de las calles de una ciudad o los valores de las acciones en bolsa, parece lógico pensar que los dígitos del 1 al 9 aparecen en estas cifras de forma completamente aleatoria. Por esto, si es que nos fijamos en el primer dígito de todos estos datos está dando lugar a esperar que las cantidades del 1 al 9 aparezcan en la primera posición un número idéntico de veces, o sea el 1 aparece en primer sitio aproximadamente el 11,1% de las veces, el 2 aparece en 1er sitio el 11,1% de la veces y De esta forma sucesivamente. Simplemente lejos de la realidad, Porque las muestras capturadas del mundo real semeja que sienten cierta predilección por colocar en 1er sector ciertos dígitos en concreto. Corría el año 1881 Cuando el astrónomo y matemático Simon Newcomb publicó su artículo «Note on the frequency of use of the diferent digits in natural numbers» en el número 4 del «American Journal of Mathematics». Según se cree, observando libros de logaritmos –herramienta muy usada por los astrónomos de la época- se dio cuenta de que las primeras páginas de declaraciones libros estaban más erosionadas. Éstas páginas eran aquellas en las que aparecían los números que empezaban por 1. Este hecho observado por Newcomb se dirigió el que le llevó a formular el próxima principio: «En una lista de números tomada de un conjunto arbitrario de data hay más números que comienzan por 1 que con cualquier otro dígito
» Algunos años a continuación el físico Frank Benford publicó el artículo «The law of anomalous numbers» en el número de abril de 1938 de los «Proceedings of the American Philosophical Society». En dicho trabajo enuncia la que ha venido a ser denominada ley Benford, o ley del primer dígito y que describe la frecuencia con la que aparecen, en 1er sitio, los dígitos del 1 al 9, en data de la vida rutinaria. Benford determinó que esta frecuencia viene dada por la función: donde es x el valor de la cifra en cuestión y P (x) es la probabilidad de que dicha cifra aparezca en primer sitio. Gráficamente esta función se puede representar También que sigue: Por lo tanto, Según la función dada por Benford la frecuencia de aparición de las cantidades del 1 al 9 Al parecido que 1er dígito (en una serie de datos tomados de la vida real) es la siguiente: En este sentido, si es que tomamos una lista grande de información, estas cifras empezarán por 1 el 30,1% de las veces, por 2 un 17,6% de las veces y De esta manera sucesivamente. Desde un punto de vista teórico todo esto esta verdaderamente bien, Pero si tomamos data reales ¿será cierto que se ajustan a la curva descrita por Benford? Para comprobar que este fenómeno es real (y no Solo teórico) A mí me he tomado la libertad de mirar los información del censo de 2019 del Instituto Nacional de Estadística (INE). Estos datos son públicos y se pueden buscar Como «Cifras de población resultantes de la Revisión del Padrón Municipal a 1 de enero de 2019. Datos por municipios». Observando los datos de las poblaciones de los 8131 municipios españoles, (lo cual, dicho sea de paso, lleva un rato Pero) se tiene que la aparición de las cifras del 1 al 9 Al igual que 1er dígito es la siguiente: Podemos representar gráficamente estos data Del mismo modo que sigue: A primera vista, semeja que los datos reales y los predichos por Benford se parecen mucho, basta comparar la última fila de las tablas 1 y 2. Pero Ya que una imagen vale más que mil palabras, en La siguiente figura se presentan en una misma gráfica Los dos información (los reales y los predichos por la Ley Benford). Según semeja los datos reales se ajustan muy, verdaderamente bien al comportamiento esperable Conforme la ley Benford. A partir de un punto de vista más actual, en el año 2012 Mark Nigrini posteó su trabajo «Benford’s Law: Applications for forensic Accounting, Auditing and Fraud Detection» donde mostraba cómo este comportamiento de los números logrados del planeta real permite identificar si es que un conjunto de data proviene de una fuente real o si es que por el contrario Versa de datos falsos. En tanto que «poderoso caballero es don dinero» una de las mayores aplicaciones que se ha encontrado a la ley Benford es que es capaz de determinar, entre otras cosas, la veracidad o falsedad de las facturas presentadas en las declaraciones de la renta. De esta manera que, cuidadito con defraudar al fisco, pues ya sabes, «Hacienda somos todos». Víctor M. Manero es profesor de la Universidad de Zaragoza y miembro de la comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española
. El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la comisión de divulgación de la RSME .