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La «im-posible» cuadratura del círculo

Desde nuestra más tierna infancia, nos han enseñado que la civilización clásica griega debía Algunas manías a la hora de ejecutar construcciones geométricas, incluyendo las más complicadas. Por ejemplo: – querían por todos los medios dividir en tres partes iguales un ángulo, cualquier ángulo; – estaban empeñados en trazar un cuadrado cuya área fuese igual a la de un círculo, de cualquier círculo; – se obcecaron en construir una superficie cúbica cuyo volumen fuera el doble del cantidad de otro cubo. Entonces entendimos que la restricción del manipulación de regla y compás podía contar motivos estéticos y místicos, tan del gusto de la época (la regla y el compás son Los instrumentos ideales con los que trazar rectas y circunferencias perfectas) y, Tras muchos siglos de trabajo importante, posteriormente sabemos que, entre otros muchos, estos tres incidentes no tienen solución, Debido a las demostraciones de Pierre Wantzel (1837) sobre la duplicación del cubo y la trisección del ángulo De esta forma Al semejante que a la de Ferdinand von Lindemann (1882) acerca de la cuadratura del círculo. A pesar de ello, es de agradecer el empeño que siguen poniendo personas que se resisten a confiar en las demostraciones matemáticas y proporcionan construcciones de gran originalidad con las que pretenden resolver alguno de los inconvenientes convocados. Aunque es evidente que ninguna puede ser correcta (lo bueno que poseen las matemáticas es que las pruebas de sus resultados son inmunes al paso del tiempo), algunos de esos métodos pueden llevar a las matemáticas por caminos inexplorados y, quién sabe, productivos. Al menos, la recolección de falsas construcciones y supuestas pruebas pseudomatemáticas contenidas en el libro “The trisectors” (Mathematical Association of America, 1996) han dado a su intérprete y escritor, Underwood Dudley, un gran reconocimiento popular. ¿Qué tal si eliminamos las restricciones impuestas por nuestros antepasados? Por ejemplo, si utilizamos simplemente unas tijeras: ¿se podría recortar en piezas un círculo de modo que, al volverlas a poner de otra manera, se consiga un cuadrado? Si fuera posible, ¿habríamos garantizado que ambas figuras iban a poseer La misma área? El hecho de que una de las figuras tenga bordes rectos y la otra bordes curvos semeja hacer sospechar que no es posible. Antes de confirmar o bien desechar esta conjetura, vamos a proponer una versión simplificada: ¿se podría recortar en piezas un polígono de modo que, al volverlas a poner de otro modo, se consiga un cuadrado? Pues bien, se conoce Desde hace bastante tiempo que la respuesta es positiva. Entre 1807 y 1835, William Wallace, Farkas Bolyai y Paul Gerwien, lo demostraron por separado y de manera independiente. Es muy simple entender la demostración gráfica pues se basa en dividir un polígono en distintos triángulos, recortar cada triángulo en tres piezas para formar un rectángulo y recortar Por ultimo los rectángulos de modo que se puedan recomponerse para formar un cuadrado. Hay muchas versiones animadas de este proceso De La misma manera que la que se muestra en este video clip.<iframe height=”286″ src=”https://www.youtube.com/embed/2YnJ9cXWbwU” frameborder=”0″ allowfullscreen style=”width:100%;”></iframe> Lo cual no es tan sencillo es el problema de saber cuál es el menor número de piezas necesarias para obtener la cuadratura. Ciertos casos, correspondientes a los polígonos regulares, se han ido resolviendo con el tiempo. Mostramos aquí la lista de los primeros valores conocidos Hasta el instante y remitimos al libro “Dissections: Plane and Fancy” (Cambridge, 1997) de Greg Frederickson a cualquiera interesado en el tema: Volviendo a nuestro problema, Alfred Tarski propuso en 1925 el problema de averiguar si es posible recortar un círculo en piezas con las que formar un cuadrado de La misma área. Él mismo pudo vivenciar que ambas figuras tendrían exactamente la misma área Sin embargo no estaba seguro de que fuera posible la disección. Claro, el número de piezas ha de ser finito, no vaya a ser que queramos ejecutar la construcción ideal que se sugiere en las siguientes figuras del siguiente vídeo:<iframe height=”286″ src=”https://www.youtube.com/embed/YokKp3pwVFc” frameborder=”0″ allowfullscreen style=”width:100%;”></iframe> Tampoco vale esta, que De la misma forma Necesita un proceso infinito para conseguirlo: Por sorprendente que parezca, la respuesta al problema de Tarski es afirmativa. Tuvieron que pasar más de 60 años hasta que un teorema demostrado por Miklós Laczkovich en 1990 lo corroborara: todo círculo es cuadrable con un número finito de piezas. Lamentablemente, un par de malas noticias acompañan a la demostración: las piezas son entes matemáticos abstractos y, en consecuencia, no se pueden construir físicamente y hacen falta alrededor de 1050 piezas (sí, un uno seguido de cincuenta ceros) para conseguirlo. Por suerte, la primera dificultad se dirigió solventada por Lukasz Grabowski, András Máthé y Oleg Pikhurko quienes demostraron en 2017 que las piezas tienen medida “real” (en el argot matemático se diría que son medibles Lebesgue). Pese a todo (Del mismo modo que ya probaron Lester Dubins, Morris Hirsch y Jack Karush en 1963), las piezas son tan complejas que no es posible fabricarse un puzle que permita fabricar con ellas un cuadrado y un círculo. La proxima pregunta es inevitable: ¿qué ocurre en dimensión tres? Esta cuestión ya la planteó David Hilbert en París frente los asistentes al famoso Poder legislativo Internacional de Matemáticas del año 1900: «Dados dos poliedros con el mismo cantidad, ¿es posible separar el primero en una cifra finita de piezas poliédricas y reensamblarlas para obtener el segundo?» Curiosamente, este problema se dirigió el primero en resolverse de la lista de 23 incidentes planteados por Hilbert en aquella reunión. Y, sorprendentemente, la respuesta es ahora negativa. No obstante esto… es otra historia. Pedro Alegría es profesor de la Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea y miembro de la comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la comisión de divulgación de la RSME .