Esta maldita pandemia que nos ha asolado (no ha sido única por medio de la Historia Al idéntico que bien sabemos, No obstante, ¡qué diablos!, es la que nos ha tocado) nos ha traído muchas calamidades y contratiempos. Por supuesto, la salud de la población es lo primordial (cierto es que la economía, tanto la general Del mismo modo que la particular va a padecer un varapalo considerable, Sin embargo, qué quieren que les diga, sin personas, ninguna otra cosa es posible), Sin embargo También ha trastocado Ciertas de nuestras costumbres más connaturales, entre ellas abrazarnos y besarnos. En matemáticas existe un término que, en otras circunstancias, hubiéramos mirado con indiferencia y hasta reído de él, el kissing number (número de besos, traducido literalmente), Porque los besos entre personas nada tienen que ver con los cuales suceden entre objetos. No obstante en seguida que no “debemos”, al menos no indiscriminadamente, las cosas “pintan” de otra forma. Veamos de qué manera se besan, en concreto, las esferas. La cosa no es demasiado complicada: en el espacio de n dimensiones, el kissing number K(n) es el número máximo de esferas unidad (expresado de otro modo de radio 1) disjuntas (dicho de otro modo, esferas que no se cortan, que no tengan partes comunes) que pueden tocar a otra esfera dada. Veamos un ejemplo, para entenderlo mejor. Una esfera en el plano, en otros términos, en dos dimensiones, es una circunferencia. Fijémonos en una concreta, la que aparece en la imagen sombreada, de radio uno (las unidades, las que se quieran, centímetros, pulgadas, metros, está dando idéntico). El número máximo de otras circunferencias del mismo tamaño que la “besan” es Claramente 6 en la predisposición mostrada. Diríamos entonces que K(2) = 6. Claro que, para concluirlo, deberíamos probarlo para todas y cada una las configuraciones que pudiéramos elaborar, no vale con afirmarlo para la primera que hemos imaginado. Sin embargo vamos de a poco, que esto Solo era un ejemplo para comprender a que nos referimos con ese kissing number. Por cierto, y Antes de que los puristas se metan conmigo, digamos que en español tenemos un nombre para acotar ese número, y desgraciadamente no es tan evocador. Aquí se llama número de osculación. Sí, lo sé, he roto toda la magia de los besos, No obstante es lo cual hay. En dimensión 1, dicho de otro modo, en la recta real (todo el universo se reduce a una única recta), las esferas son puntos, y Del mismo modo que Solo existe una dirección (Pero dos sentidos; a la izquierda del punto, y a su derecha; en efecto, por si a alguien se le ocurre: tan fácil, elemental y aburrido De este modo tal y como nuestro portería parlamentario, y ya ven cómo andan, pegándose un día sí y otro De la misma forma, cada uno en su posición sin moverse del sitio un ápice): En el dibujo, la esfera es el punto de color rojo, y los azules, las otras dos que la “besan”, una a cada lado. Meridianamente debemos K(1) = 2. Hasta acá todo parece aproximadamente sencillo, Pero, ¿qué pasa al ir a dimensión 3, a nuestro espacio tridimensional? ¿Cuántas esferas besan a la azul de la imagen? Semeja que 12, Pero la ocación es que, queda bastante hueco vacio en esa configuración, y tal vez se puedan colocar de otro modo donde quepan más. Ese razonamiento se dirigió en el que se apoyaba David Gregory (1659 – 1708) para afirmar que seguramente puedan ponerse de algún modo 13 esferas que besen a la azul. Sin embargo un contemporáneo suyo, de nombre Isaac Newton (1642 – 1727), decía que para nada, que eran 12 el número máximo, y dio pie a una conocida discusión entre ellos el 4 de mayo de 1694. El argumento de Newton era que, si es que nos fijamos en lo cual pasa en dimensión dos (giramos un tanto la configuración que pusimos arriba), por encima del diámetro de la circunferencia sombreada, tenemos tres circunferencias, y otras tres por debajo. Razonando por analogía, en la ocación de la esfera tridimensional, podemos colocar seis esferas por encima de su ecuador, y Sólo otras seis por debajo. Y esa estructura es tan clara y rígida que no está dando sitio a otra. Pero ya sabéis que, en matemáticas, si no hay una demostración formal, rigurosa y bien hecha, los argumentos no valen de nada, lo diga quien lo diga (y no charlamos precisamente de un mindundi). Los milagros en matemáticas (y diria que en nada, Pero no quiero aguar la celebración a nadie; Dios A mí me libre) no existen, y el asunto llevó mucho tiempo y muchos intentos hasta que se resolvió. Incluso se bautizó el dilema: el problema de las trece esferas. El matemático alemán Reinhold Hoppe (1816 – 1900) pensó en 1874 que había resuelto el problema, No obstante se Halló un error en su razonamiento. Hubo que esperar al año 1953 a fin de que el alemán, Kurt Schütte (1909 – 1998) y el holandés Bartel Leendert Van der Waerden (1903 – 1996) hicieran una demostración válida de que efectivamente K(3) = 12. Posteriomente, otros creadores han simplificado y hecho más entendible su demostración. En verdad, hasta cinco demostraciones distintas han sido construidas Desde entonces, enriqueciendo no Sólo el tópico, Sino que aportando en ellas nuevos enfoques y resultados, aprovechables en otros asuntos y incidentes. Es un ejemplo de de qué forma las matemáticas pueden expandir su conocimiento aún Desde resultados famosos, No obstante con técnicas diferentes. Una de ellas es la publicada por el norteamericano Oleg R. Musin por medio de cálculo elemental y geometría esférica. Planteemos el caso A partir de una perspectiva diferente: si N esferas unitarias “besan” a una esfera unitaria en R^n, el conjunto de los puntos donde lo están haciendo es una disposición en torno a esa esfera central de modo que la distancia euclidea entre cualquier par de esos puntos de tangencia sea al menos 1. Con esa idea podemos entonces enunciar el asunto en concepto de ángulos: ¿cuántos puntos pueden colocarse sobre la superficie de una esfera de modo que la separación angular entre dos cualesquiera de esos puntos sea al menos de 60º? (¿Sabrían deducir pues 60º? No es difícil). Curiosamente, cara 1930, en un Solo contexto distinto, se plantea otro asunto que se denominó el problema de los dictadores enemigos: ¿Dónde deberían N dictadores de un determinado mundo elaborar sus palacios para estar lo más lejos posible el uno del otro? Este problema de matemática discreta surge del botánico danés R. M. L. Tammes (realmente, de pacto a su profesión, el tema le vino a la mente en términos de de qué forma se distribuyen las aberturas de los granos de polen en distintos géneros de flores). El problema se conoce Asimismo alternativamente En este sentido como el problema de Tammes en su honor. El geómetra húngaro László Fejes Tóth (1915 – 2005) lo dictaminó hacia 1943 para los valores de N = 3, 4, 6, 12; los citados K. Schütte y Van der Waerden para N = 5, 7, 8, 9; el alemán Ludwig Danzer (1927 – 2011) para N = 10 y 11; y el norteamericano Raphael Mitchel Robinson (1911 – 1945) para N = 24 en 1961 (este matemático estuvo casado con la célebre matemática Julia Robinson, de ahí su apellido, de quien hablaremos en otra ocasión). El 1er valor para el que no está resuelto, N = 13, tiene relación estrecha con el problema de las trece esferas y la célebre conjetura de Kepler (El día de hoy ya resuelta) de empaquetamiento de esferas. Hay un asunto, denominado el problema duro de las trece esferas, que, tal y Del mismo modo que pretende transmitir el adjetivo añadido, complica un poco más el estudio: encontrar una predisposición de trece esferas tridimensionales iguales que no se solapen (Solo se “besen”) determinando su radio (es decir, permitimos que el radio de ellas sea menor que el de la esfera a la que besan que mantendremos de radio unidad). Evidentemente, De esta manera como K(3) = 12, la solución de este nuevo problema implica que los puntos de tangencia estén a menos de 60º. Los húngaros Károly Böröczky y L. Szabó demostraron hace no mucho, en 2003, que esa distancia había de ser estrictamente menor que 58.7º. Más recientemente Aún, en 2008, la matemática francesa Christine Bachoc y el alemán Frank Vallentin, (obtuvieron por este trabajo en 2011 el prestigioso premio SIAG/Optimization) demostraron que aun tenía ser menor que 58.5º. Ya ven, ¡¡tuvieron que pasar cinco años para que la cota se mejorara en dos décimas!! Y nos podemos experimentar afortunados: les recuerdo que vivieron 300 años para que se resolviera la discusión entre Newton y Gregory. En Ciencia el panorama es De esta forma, de modo que tengan paciencia con la vacuna del COVID – 19 que las perspectivas no semejan ser tan lejanas (esto a los politiquillos de tres al 4TO, La mayoría del mundo mundial, es una de las razones por las que seguramente no quieran invertir en investigación en ciencia; consideran que la inversión no compensa ante al hipotético logro, Sin embargo, ¿tenemos una alternativa mejor?). Más cerquita todavía en el tiempo, en 2018, de nuevo el norteamericano Oleg Musin y el soviético Alexey S. Tarasov (¿ven Al parecido que las matemáticas están haciendo conciliar hasta las más enfrentadas potencias?), han probado que la distancia entre dos puntos cualesquiera tiene que ser Al parecido que mínimo de 57.1367º, y su demostración utiliza grafos irreducibles. En la imagen se muestra la predisposición encontrada para la citada cota inferior y su grafo asociado. Por cierto, y esto es de cosecha propia, ese grafo asociado, ¿no les recuerda nada? Seguramente no tenga nada que ver, Pero Me se acuerda a la planta de las naves de nuestras magníficas iglesias y catedrales. A lo mejor se podría hacer un estudio de dichas plantas A través de esta clase de grafos y se pudieran sacar Ciertas conclusiones, Sin embargo ya digo que, a lo mejor no tenga ningún sentido; es una idea que Me viene alilo de la redacción de este artículo. La demostración del resultado precedente descansa totalmente en el análisis de grafos del tipo del representado: estudio de su planaridad, del mandato de sus vértices, de las propiedades combinatorias y geométricas de los vértices y las caras, y algo de trigonometría, aspectos técnicos que, por supuesto, quedan fuese del lugar de este contexto. Acabaremos diciendo que el tema de la búsqueda de los números de osculación en dimensiones mayores no está ni mucho menos cerrado, y es un problema pendiente de solucionar. En dimensión 4, A lo largo de un tiempo se ignoró si es que la solución era 24 o 25, hasta la fecha en que Asimismo Oleg Musin demostró en 2003, que la solución correcta era K(4) = 24. Para valores n > 4, el problema Sólo está resuelto en los casos K(8) = 240 y K(24) = 196560 Debido a los célebres Andrew Michael Odlyzko y Neil James Alexander Sloane en 1979. Para el resto de dimensiones hasta n = 24, Solo se tiene cotas inferiores y superiores. Por ejemplo, se sabe que 40 < K(5) < 45, 72 < K(5) < 78, etc. Bien, acá tiene un nuevo reto con el que entretenerse En el momento en que no sepan qué hacer (ganarán bastante dinero y fama, si lo resuelven). Ah, y por cierto, Newton y Gregory tuvieron A lo largo de su vida otras “enganchadas” (Además los científicos se comentan de todo), Pero eso lo dejaremos para otra ocasión. Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.