Empezaremos nuestro recorrido con una adivinanza: daré una serie de pistas para describir un personaje histórico y te animo a detectar su identidad A lo largo de ellas. Las pistas son las siguientes: divulgador matemático, escritor prolífico, responsable de una sección fija sobre matemática recreativa para una revista científica A lo largo de más de 25 años, filósofo de la ciencia, fundador de un movimiento escéptico, mago aficionado, impulsor de vocaciones matemáticas. Ni siquiera un cotizado buscador de internet Necesita más datos para hallar a Martin Gardner, uno de los héroes de juventud de multitud de adolescentes amantes de las matemáticas. Entre la ingente volumen de material que se acumula en sus obras podemos detectar inspiración para muchos artículos en esta sección, conque nos limitaremos a un ejemplo muy apropiado para el caso vigente. En el número de noviembre de 1967 de la sección «Mathematical Games» para la gaceta «Scientific American» rescata un viejo problema de 1958, conocido De exactamente la misma manera que el puzle de Langford. El problema convocado por Gardner fue planteado por el matemático británico Dudley Langford en 1958 y se le Tuvo lugar viendo jugar a su hijo con unos bloques de colores. Conforme sus propias palabras, Había dos bloques de cada color y un jornada A mí me percaté de que mi hijo los había apilado de modo que había un Solo bloque entre el par rojo, dos entre el par verde y tres entre el par azul. Entonces encontré que una redistribución completa permitía añadir un par de bloques amarillos con cuatro bloques entre ellos. Primeras soluciones del puzle de Langford utilizando coloresTrabajando con números en vez de colores, Langford planteó el problema general: Dado un conjunto con 2n números, del 1 al n repetidos dos veces, Versa de colocarlos en una fila de modo que, entre cada dos números iguales de valor k, haya exactamente k números. El propio Langford reveló otras soluciones con un número mayor de parejas, que publicó en la gaceta «Mathematical Gazette» en 1958. Curiosamente, las secuencias 312132 y 41312432 son las únicas soluciones (salvo sus simétricas) para tres y cuatro parejas, respectivamente. Existen métodos atractivos para elaborar ordenamientos adecuados para todos los casos Pero no dejan determinar el número de soluciones. A través del tiempo y Debido a la potencia de cálculo de los ordenadores modernos, se conoce el número de soluciones de todos los casos hasta n = 30 (30 parejas de números). En realidad, este caso es sencillo Porque no tiene solución, Así Al idéntico que tampoco la tiene la ocasión n = 29. Pero, para n = 28, se sabe A partir de 2015 que hay un total de 1.607.383.260.609.382.393.152 soluciones (más de mil trillones Aunque ninguna de ellas tiene pinta de obtenerse «a pulso»). Todavía no se ha encontrado una fórmula general que dé el número de soluciones para cualquier cantidad de números Sin embargo sí se han conseguido fórmulas sorprendentes para ciertos valores. Una versión animada que muestra la dificultad del problema, aun para casos sencillos, está realizada por John Miller y puedes juzgar en este enlace. Logo de Google que “casi” se ajusta a la secuencia de Langford Logo de MacTutor con los colores siguiendo la secuencia de Langford – Fuente: John Miller.
Puedes detectar una hermosa demostración elemental (no simple) de que Sólo hay soluciones Una vez que el número de parejas es múltiplo de cuatro o una unidad menos de un múltiplo de cuatro en el blog DataGenetics. Un problema igual que tiene solución para todos los valores de n consiste en incluir el número cero en la penúltima posición de la secuencia, famosa Al similar que sucesión de Langford «enganchada». En 1966, Frank Gillespie y W. Utz definieron las sucesiones de Langford generalizadas, utilizando más de dos números iguales en cada secuencia y preguntándose cuáles serían los casos que tenían solución. La presentación en sociedad de este problema apareció en 1988 y viajó descrita, cómo no, por Martin Gardner en el capítulo 6 del libro «Time travel and other mathematical bewilderments» (traducido exactamente el mismo año bajo el título «Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas»). De este modo es De esta forma tal y como lo planteaba Martin Gardner, clasificándolo Al idéntico que extremadamente difícil: Saca las 27 cartas con valores del as al nueve de tres de los palos de una baraja. El problema consiste en poner todas y cada una y cada una de las cartas en una fila acerca de la mesa con la proxima condición: Para cualquier valor de k entre 1 y 9, entre la primera y segunda cartas del mismo valor k tiene que haber exactamente k cartas y entre la segunda y tercera cartas del mismo valor k tiene que haber Asimismo exactamente k cartas. De esta forma Porque, entre el primer as y el 2do as tiene que haber Sólo una carta, entre el segundo as y el 3er as tiene que haber Solo una carta; entre el primer dos y el segundo dos tiene que haber dos cartas, entre el segundo dos y el tercer dos tiene que haber dos cartas; etc. Al parecido que se puede valorar, Se trata del problema de Langford utilizando ternas de cartas (o bien números) en sector de parejas. El ejemplo propuesto por Gardner es el más pequeño que tiene solución, En verdad Sólo tiene estas tres soluciones: 1-9-1-2-1-8-2-4-6-2-7-9-4-5-8-6-3-4-7-5-3-9-6-8-3-5-7 1-8-1-9-1-5-2-6-7-2-8-5-2-9-6-4-7-5-3-8-4-6-3-9-7-4-3 1-9-1-6-1-8-2-5-7-2-6-9-2-5-8-4-7-6-3-5-4-9-3-8-7-4-3 Curiosamente, semeja que no hay solución para ocho cartas, Del mismo modo que comprobaron D.P. Roselle y T.C. Thomasson Jr. en 1971 por medio de programas informáticos, de modo que no cuenta Al idéntico que demostración. Para diez cartas hay cinco soluciones y no hay más soluciones con otros valores Siempre y en todo momento y en toda circunstancia que se utilicen tres palos de una baraja. Si es que alguien te plantea el problema homólogo utilizando los cuatro palos de la baraja y respetando las mismas reglas de separación entre parejas de valores iguales, no te esfuerces: no hay ninguna solución. Hay muchas otras formas de conservar la distancia de seguridad entre números, con variaciones de las secuencias aquí descritas, Del mismo modo que son las sucesiones de Skolem, estudiadas de forma independiente por el matemático sueco Thoralf Skolem, las sucesiones de Nickerson y las generalizaciones con ternas, cuaternas, etc., de números iguales, Del mismo modo que las ya descritas. ¿Seremos capaces de aplicar estos conocimientos matemáticos en la nueva redistribución de la sociedad y sus costumbres? Al menos, ciertos artistas se sienten inspirados por estas estructuras matemáticas, De exactamente la misma forma que el artista alemán Gerhard Hotter, que ha plasmado en Algunas de sus creaciones su particular visión de las sucesiones de Langford (puedes elaborar un recorrido virtual en esta galería). Pedro Alegría. Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea. Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de divulgación de la RSME.