Aseveraba Leopold Kronecker, o bien al menos eso se le atribuye, que Dios hizo los números naturales y que todo lo demás es álbum del hombre. Cierto o no, es innegable que los números, y entre ellos los primos, nos acompañan A partir de nuestros orígenes más remotos. El hueso de Ishango – Wikimedia Commons En efecto, el hueso de Ishango, un peroné de babuino datado en torno a 20000 a.C., contiene tres columnas de muescas que indican un primitivo sistema de numeración. Se ha señalado el uso de esta herramienta Además que método de conteo y que sus usuarios dispondrían de algún conocimiento de la multiplicación. De la misma forma se ha sugerido su uso Del mismo modo que calendario lunar de seis meses. En esta pieza, llama poderosamente la atención que la columna de la izquierda muestra los números 11, 13, 17 y 19, es decir, todos y cada uno de los números primos entre 10 y 20; una partición del número 60 (dicho de otro modo, 11+13+17+19 = 60). Desde entonces, los números primos fascinarán a generaciones de matemáticos hasta el punto de que diversas escuelas los han dotado de una aureola de misticismo. ¿Pero qué tienen estos números que tanto nos atraen y tanto nos desconciertan? En este artículo trataremos de dar Ciertas pistas sobre esta cuestión. Los números primos en la matemática prehelénica
Si bien se puede argumentar que los números primos ya aparecen indirectamente en la tablilla mesopotámica Plimpton 322, datada en torno a 1800 a.C., es en Egipto y más concretamente en el papiro de Rhind (o bien de Ahmés, si hemos de atenernos a su autoría), donde se muestran de manera más evidente. Que data en torno a 1650 a.C., Se trata de un compendio de 87 incidentes resueltos de aritmética y geometría. Lo más relevante para nosotros es el tratamiento de las fracciones unitarias (aquellas de la forma 1/n), y en concreto el problema de expresar fracciones del tipo 2/n Al parecido que suma de dos unitarias. Con admirable habilidad, el escriba lo resuelve para los enteros impares entre 4 y 102, salvo en el caso en que n es primo, sensiblemente más difícil, y en el que se conforma con expresarlo Al idéntico que suma de tres. Pitágoras y Euclides
Sobre Pitágoras de Samos (¿569 a.C-475 a.C.?) se ha escrito mucho, Pero él nada escribió, o bien nada se conserva. Algunos historiadores han cuestionado su existencia, otros Creen que realizó numerosos viajes, particularmente por Egipto y Babilonia, donde se formó en las matemáticas y el pensamiento de la temporada. Se sabe que los pitagóricos manejaban formalmente los números primos; Filolao de Crotona los llamaba números rectilíneos: aquellos que pensados Tal como sucesiones de puntos no se pueden poseer con en varias filas del mismo número de puntos cada una. En terminología de la época: número primo es aquél que no se puede medir por ningún otro. También descubrieron los números perfectos. Un número perfecto es aquel que se puede expresar Al semejante que suma de sus divisores propios, por servirnos de un ejemplo 6 = 1+2+3 o bien 28 = 1+2+4+7+14. La relación entre números perfectos y números primos, observada por Pitágoras, Pero demostrada por Euclides unos 200 años posteriormente es la siguiente: En el Siglo XVIII, Leonhard Euler demostraría el recíproco de esta afirmación, caracterizando completamente los números perfectos pares en concepto de números primos. A jornada de Hoy no se conoce ningún número perfecto impar. Sin embargo Sin duda alguna es Euclides (325 a.C.-265 a.C.) la figura central de la matemática griega, cuyo tratado «Los Elementos» se dirigió la primordial fuente bibliográfica en la materia hasta bien entrado el Renacimiento. No examinaremos aquí la gran relevancia que supone su obra en el pensamiento matemático (en el pensamiento, En general), Sino más bien nos limitaremos a recolectar tres de sus resultados sobre números primos. El primero, ya lo hemos mencionado, es el previo teorema. El segundo, lo estudiamos en nuestra infancia y es la razón de que los números primos merecen ser llamados Así, o sea, de que son, en algún sentido, los átomos de los números naturales: Teorema fundamental de la aritmética (Euclides, Elementos VII, Proposiciones 30 y 31): Todo numero natural mayor que 1 se expresa De este modo tal y como producto de números primos de manera única salvo el mandato de los factores. Ejemplo: Elementos, Euclides. Primera edición inglesa de 1570 – Wikimedia Commons El tercero prueba la infinitud del conjunto de los números primos y en el lenguaje de Euclides (a los griegos les horrorizaba el infinito; piénsese en las paradojas de Zenón de Elea) se lee así: Teorema (Euclides, Elementos, Libro IX, Proposición 60) Los números primos son más que cualquier cantidad dada de ellos. Demostración: Se prueba por reducción al absurdo, o bien sea, se supone que lo que se pretende demostrar es falso y por medio de una serie de razonamientos válidos se llega a una contradicción, quedando demostrado el enunciado. Ofrecemos al lector el próxima problema, de Resolución análoga al razonamiento anterior: Problema: demostrar que existen infinitos números primos de la manera 4n + 3, con n > 0. Si es que el lector intenta extender este argumento para probar que existen infinitos primos de la forma 4n+1, se encontrará con un escollo particular (inténtelo). En verdad, esta cuestión permaneció abierta hasta que Pierre de Fermat, otro gran protagonista de nuestra historia, la dictaminó en el S XVII. …Hanc marginis exiguitas non caperet…
Pierre de Fermat (1601-1665), apodado el príncipe de los aficionados, viajó un jurista francés que en sus ratos libres se entregaba a las matemáticas y la primordial razón por la que ha pasado a la historia es por el enunciado del llamado «Último Teorema de Fermat», anotado por él mismo en un margen de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto, otro de los textos de referencia de la Antigüedad. Aunque, aquí Solo nos centraremos en sus investigaciones acerca de números primos. Comenzamos por el próximo resultado, que aparece sin demostración en una carta de Fermat a Frenicle de Blessy fechada en octubre de 1640. Las cosas pueden aun complicarse más y darse el en el caso de que un número compuesto sea pseudoprimo en todas y cada una de las bases coprimas con él. A tales números se les denomina pseudoprimos absolutos o bien números de Carmichael, de los cuales el más pequeño resulta ser 561. De estos números no se sabe prácticamente nada, Aunque se conjetura que existen infinitos. El pequeño teorema de Fermat constituye mucho más que una curiosidad: al ser una condición requerida permite descartar si es que un número candidato a ser primo lo es en realidad: lo descartamos Del mismo modo que primo si es que no satisface la propiedad. Es decir, es un test de primalidad, algo de gran interés en criptografía, al ser los números primos la base de diversos criptosistemas. Entre ellos Destaca RSA, cimentado sobre una generalización debida a Euler del pequeño teorema de Fermat. Volviendo a la cuestión de la infinitud del conjunto de primos de la forma 4n+1, ésta se desprende, ahora sí, por reducción al absurdo (dejamos los detalles al lector), del próxima resultado que Fermat envió por carta a su amigo Marin Mersenne el 25 de diciembre de 1640. Teorema de Navidad (Fermat). Todo número primo de la forma 4n+1 se expresa de forma única Al igual que suma de dos cuadrados perfectos. Así: A propósito de Mersenne, debemos destacar sus números homónimos, de cuyo estudio se ocuparon él y Fermat. Un número de Mersenne es aquél de la manera Un tanto de reflexión basta para convencerse de que si es que M_n es primo, hablamos entonces de un primo de Mersenne, entonces n debe ser primo. Se conocen Sólo 51 primos de Mersenne Si es que bien se conjetura, de nuevo, que existen infinitos de ellos. El primo más grande conocido hasta la fecha es de Mersenne; Versa de M_82589933, con 24 millones de cifras. De la misma forma de los números de Mersenne, se tienen los números de Fermat: Fermat conjeturó que todos estos números eran primos, No obstante Euler, nuestro siguiente protagonista, factorizó F_5 = 4294967297 = 641 x 6700417 ya en el S. XVIII. Estos números presentan propiedades notables entre las que destacamos el próximo resultado: En este vídeo se explica la construcción del heptadecágono (polígono de 17 lados) pasito a pasito.<iframe width=”349″ height=”100%” src=”https://www.youtube.com/embed/xzvl2lmLKgU” frameborder=”0″ allow=”accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture” allowfullscreen></iframe> Mandato y caos en los números primos
Si líneas arriba Euclides nos mostraba que existen infinitos números primos, veamos ahora que, con todo, estos son más escasos a medida que nos alejamos en la recta real. En 1er sector, existen tramos de números enteros totalmente desprovistos de números primos y de longitud tan grande Al idéntico que se desee; en efecto, para todo n >1, los números n –1 números enteros que hay entre n! + 2 y n! + n son todos compuestos (recordemos que n! = 1.2.3.…n). En segundo sector, se puede demostrar que si denotamos por π(n) a la volumen de números primos menores o iguales que n, el cociente π(n)/n tiende a 0 En el momento en que n se hace grande, es decir, se puede comprender que, si se escoge al azar un número entero en un intervalo grande, la probabilidad de que este sea primo resulta despreciable. En 3er sitio, y ahora es donde no pocos lectores quedarán desconcertados, se tiene: Teorema (postulado de Bertrand) Para todo n >2, Siempre y en toda circunstancia existe algún número primo p entre n y 2n. Por poner un ejemplo, entre 10 y 20 tenemos el 11, entre 15 y 30 el 17, entre 26 y 52 el 29… También se demuestra lo siguiente: Teorema (Euler) La serie de los inversos de los números primos es divergente. En concreto, si denotamos por p_n el primo n-ésimo, la suma crece arbitrariamente con orden log(log(n)). Este resultado nos viene a decir que, Aunque los números primos son escasos, no lo son tanto Al igual que, por ejemplo, los cuadrados perfectos: En efecto: una serie infinita de términos positivos y que converja ha de estar formada por términos cada vez más y más próximos, lo que equivale a que sus inversos están cada vez más alejados. Los cuadrados perfectos son, De esta forma, más escasos que los primos. ¿No es sorprendente? Y más aún: De la misma forma que constatamos que existen intervalos de longitud arbitraria desprovistos de números primos, Además observamos que hay primos cuya distancia es la mínima posible: 2. A semejantes primos, Asimismo que el 5 y el 7, el 11 y el 13 o el 101 y el 103 se les conoce De esta manera como primos gemelos. Se conjetura que existen infinitos números primos gemelos. La mayoría de matemáticos pensamos que la conjetura es cierta y, por ejemplo, en 1973, Jing Run Chen probó que existen infinitos primos p semejantes que p+2 es producto de, a lo sumo, dos factores. Son Solo unos pocos hechos aparentemente contradictorios (Sólo supuestamente) que están haciendo aún más codiciada la busca del santo grial de la aritmética: ¿se puede describir la distribución de los números primos de forma eficiente, o bien al menos, arrojar algo de luz acerca de ella? Euler, Riemann y las funciones zeta.
En 1737, Leonhard Euler introdujo un objeto que supuso una revolución en el estudio de los números primos; objeto que sería posteriormente generalizado a otros objetos aritméticos, geométricos y De la misma forma aun analíticos. Charlamos de la función zeta de Euler, definida, para números reales x>1, como: La igualdad de la izquierda define la función, la de la derecha se prueba usando a) el Teorema Fundamental de la Aritmética y b) el monto de la serie geométrica. Una 1era consecuencia de esta notabilísima igualdad es una nueva demostración, a cañonazos, de la infinitud de los números primos: en efecto, supongamos que Sólo hubiese una cantidad finita de ellos; entonces el producto de la derecha sería finito. Pero entonces por la igualdad de la derecha, la expresión de la izquierda estaría definida en x =1; imposible por el hecho de que la serie de los inversos de todos y cada uno de los números naturales es divergente. Bernhard Riemann – Wikimedia Commons Sin embargo fue Bernhard Riemann (1826-1866) quien explotó en profundidad las propiedades de la función zeta, extendiendo su dominio, dicho de otro modo su grupo de definición, a todo el plano complejo salvo x=1. En su memoria de 1859 «Über die Anzahl der Primzahlem unter einer gegebenen Grösse» (Sobre el número de primos menores que una volumen dada), Riemann USA las propiedades analíticas para expresar diversas transformaciones de la función zeta en concepto de funciones aritméticas evaluadas acerca de los números primos, formulando La siguiente observación, uno de los inconvenientes matemáticos abiertos más resbaladizos y de solución más codiciada por la comunidad matemática, premiado con un millón de dólares por la fundación Clay: Conjetura (Hipótesis de Riemann) Todos los zeros no triviales de la función zeta de Riemann tienen comunicado real igual a 1/2. Numerosos resultados en teoría de números emplean propiedades establecidas o bien conjeturales de la función zeta de Riemann; por ejemplo, Hadamard y De la Vallée-Pousin demostraron independientemente el Teorema de los Números Primos, que grosso modo establece que π(n) se aproxima razonablemente bien por n/log(n), de donde se deriva que el número primo n-ésimo puede aproximarse por nlog(n). Para ello utilizaron que la función zeta de Riemann no tiene zeros en cierta región vertical del semiplano superior. La validez de la hipótesis refinaría resultados ya probados, De exactamente la misma forma que el error de esta aproximación, y en suma, arrojaría luz sobre la errática distribución de los números primos. Iván Blanco Chacón es profesor e investigador en la Universidad de Alcalá de Henares. El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).