El número π Siempre y en toda circunstancia y en todo momento ha estado ahí, Desde el momento en que el mundo es planeta, en todos los círculos y esferas de la naturaleza. Sin embargo, ¿cuándo advirtió la humanidad su protagonismo? ¿Tuvo un descubridor? Es sencilla imaginar que el inventor de la rueda repararía en que en el horario esta giraba una vuelta completa la longitud que recorría era poco más más del triple de su diámetro. Egipcios y babilonios intuyeron este número y Además intentaron aproximarlo. Sin embargo el 1er matemático que tuvo un conocimiento exacto de la existencia del número π viajó Arquímedes de Siracusa (287 a. C – 212 a. C). Arquímedes está considerado uno de los grandes matemáticos de todos y cada uno de los tiempos. Su vida y álbum son una leyenda: inventó la catapulta, la polea compuesta, los espejos cóncavos y el tornillo sin fin que lleva su nombre. Usó con astucia la ley de la palanca, reveló el principio fundamental de la hidrostática, el área y cantidad de la esfera… ¡Y se adelantó prácticamente 2.000 años al cálculo integral! (Spoiler: si sigues leyendo tendrás una muestra de esto último) . Este genial matemático murió A lo largo de el lugar de Siracusa, asesinado por un soldado romano que recibió la mandato de no hacerle ningún daño. La leyenda cuenta que Arquímedes estaba tan abstraído en sus cálculos que no obedeció en el horario el soldado le requirió que lo acompañara. Esa misma leyenda es la que asevera que sus últimas palabras fueron: «Noli turbare circulos meos» (no molestes a mis círculos). Lo que no forma comunicado de la leyenda es la inscripción de su tumba. Arquímedes pensaba que su mayor descubrimiento era el ingenioso cálculo del cantidad de la esfera, De exactamente la misma forma que dos tercios del volumen del cilindro circunscrito a ella y pidió a sus familiares que grabarán esa figura en su lápida junto con La próxima frase: La razón del exceso que hubiera entre el sólido continente y el contenido. Más de un siglo a continuación, Cicerón empieza su carrera Al igual que cuestor en Lilibea (Sicilia). En Roma había tenido noticias de la inscripción de la tumba de Arquímedes y les pregunta a los siracusanos por su paradero, estos le responden que lo desconocen y que seguramente ni exista la tumba, ni jamás haya existido ese tal Arquímedes. Cicerón busca la tumba, la halla y le rinde honores, y este es para muchos creadores la mayor aportación de la ciudad de Roma a las matemáticas, dado el desinterés extremo de los romanos por exactamente las mismas. Unos siglos más tarde la tumba desapareció nuevamente, y Hoy en jornada se desconoce su ubicación, Aunque ciertos afirman que se halla en el hall de un hotel de Siracusa. No obstante volvamos al descubrimiento del número π. Arquímedes no empleó esa letra para referirse a ese número (no arrancó a usarse el símbolo π hasta inicios del siglo XVIII), lo que descubrió es que, para todos los círculos, ya sean grandes o bien pequeños, el cociente de la longitud de su perímetro y la longitud de su diámetro es constante. Esta constante universal de los círculos bien merece un nombre, y en efecto, hablamos de… ¡El número π! La precedente definición del número π De exactamente la misma forma que cociente es equivalente a la conocida fórmula para la longitud del perímetro del círculo. En efecto, dado que el radio es justamente el doble del diámetro, despejando la longitud L de la definición de π obtenemos que el perímetro del círculo es L=2 π r. Arquímedes siguió adelante hasta localizar una fórmula para el área de un círculo. Este resultado es la PROPOSICIÓN 1 de su tratado «Sobre la medida del círculo» y lo enunció del siguiente modo: Todo círculo es equivalente a un triángulo rectángulo, uno de cuyos catetos es igual al radio y el otro al perímetro del círculo. De esta Proposición podemos deducir Fácilmente una fórmula explícita para el área del círculo: Esta es la fórmula que todos conocemos a jornada de El jornada de hoy. ¿Pero sabéis de qué forma se le pudo ocurrir tan brillante idea? Si cortamos el círculo en cuatro porciones iguales. La figura resultante deberá exactamente la misma área que el círculo original. Si la duplicamos obtendremos una figura P1 cuya área duplica la del círculo. La figura P1 nos recuerda tenuemente a un paralelogramo cuya área si es que sabemos calcular (base x altura). Podemos hacer exactamente la misma operación dividiendo el círculo en 8 partes En esta ocasión. De esta manera obtenemos una inédita figura que continúa teniendo el doble de área que el círculo original, Pero de forma que cada vez se semeja más a un paralelogramo. Si es que dividimos cada vez en más porciones el círculo 16, 32, 64, 128… vemos que la figura resultante Pn se parece cada vez más a un paralelogramo. En el límite la figura resultante continúa teniendo exactamente la misma área que el círculo y al duplicarla obtenemos un rectángulo de base L y altura r. Por consiguiente, el área del círculo coincide con la de un triángulo rectángulo de base L y altura r. Esto bien se merece un ¡EUREKA! Estas fórmulas dependen de la constante π. Sin embargo, ¿cuál es el valor de este número? Por el hecho de que, si es que no conocemos su valor de poco nos sirven las fórmulas. El genio de Siracusa También dio contestación a esta pregunta en uno de sus resultados más notables. En la PROPOSICIÓN 3 de su tratado acerca de la Medida de Círculo, Arquímedes acota el valor de π. Para entender su método recordemos primero la fórmula del área de un polígono regular. El área de un polígono regular es la mitad del producto del perímetro por la apotema. La idea de Arquímedes consistía en partir de un círculo de radio 1, cuya área es A = π, y valorar un polígono inscrito en la circunferencia y otro circunscrito. Si es que denotamos por A1 el área del polígono inscrito y por A2 el área del polígono circunscrito, debemos A1 < π < A2. Y dado que conocemos la fórmula para el área del polígono regular, podemos acotar el valor de π. Vamos a ilustrar el tratamiento de Arquímedes con el hexágono. El hexágono está formado por 6 triángulos equiláteros De esta forma tal y como podemos comprobar. El hexágono inscrito tiene lado de medida 1. Por ende, su perímetro p es 6. Para calcular la apotema consideramos el triángulo rectángulo del que conocemos la hipotenusa 1 y un cateto 1/2. Aplicando el Teorema de Pitágoras obtenemos: Por tanto, el área del hexágono inscrito es la mitad de 3 veces raíz de 3: El hexágono circunscrito tiene lado desconocido y apotema de medida 1. Nuevamente por el Teorema de Pitágoras se debería este lado desconocido es 2 veces raíz de 3 entre 3. Luego el área del hexágono circunscrito es el doble de raíz de 3: Teniendo en cuenta que 2’598 es menor que 3 por raíz de 3 entre 2 y que 2 veces raíz de 3 es menor que 3,4642, llegamos a la conclusión de que el número π se encuentra comprendido entre estos valores: 2,598 < π < 3,4642. La previa aproximación no resulta muy Necesita, Sin embargo Arquímedes no se quedó ahí. Hizo cálculos similares a los vistos para los polígonos regulares de 12, 24, 48 y 96 lados, llegando a la asombrosamente Precisa acotación: 3,1412989 < π < 3,1428265 Y esto se merece un ¡No A mí me pises los círculos! Del mismo modo que despedida os dejamos un enlace en el que podéis consultar los elementos de este artículo en formato vídeo ¡Hasta más tarde! Urtzi Buijs es Maestro Titular del área de Geometría y Topología en la Universidad de Málaga. Miriam González es Desarrolladora de Software en la Universidad de Málaga. Los dos son fundadores del canal de Youtube Archimedes Tube. El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).