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Demostrar no es verificar: ¿podrías descubrir la solución a estos incidentes matemáticos?

Aparte de agradecer a los lectores el esfuerzo de leer estas pequeñas reflexiones que traemos cada semana sobre diferentes aspectos relacionados con las matemáticas, que escribimos con la ilusionante idea de intentar hacerlas más cercanas y comprensibles, valoramos las aportaciones que algunos dejáis en los comentarios. Muy frecuentemente enriquecen el contenido del artículo, y otras nos zarandean y dejan bastante claro que es bastante difícil, por mucho que lo intentamos, transmitir realmente la verdadera esencia de lo cual trabajamos, enseñamos y estudiamos. Asimismo lo percibimos casi diariamente en nuestras aulas con las dudas que los Pupilos nos plantean. A mayoría concluye asumiendo los procedimientos, las técnicas, los algoritmos que explicamos, y los aplican con cierta soltura en la Decisión de ejercicios, Sin embargo no alcanzan a comprender ni cuál es El fin de esta disciplina, ni de qué forma está organizada, ni de qué forma se deducen esos procedimientos que ven que funcionan, No obstante que de un modo u otro, asumen y punto, De exactamente la misma manera que si fuese algo contado y De la misma forma inaccesible. En el muy recomendable libro En honor del espíritu humano. Las matemáticas Hoy (Jean Dieudonné, Alianza Editorial, S.A. 1989), que trata De la misma forma de ofrecer una panorámica de nuestra profesión, el autor advierte que «es muy poco típico alcanzar del interlocutor una contestación válida si no ha recibido la enseñanza matemática correspondiente, por lo menos, a Los dos primeros años de universidad. Aun ciertos científicos destacados en otros ámbitos Solo cuentan a menudo con unas nociones aberrantes acerca del trabajo de los matemáticos«. Por presunto el conocimiento del cantautor del tema queda fuera de toda duda: Jean Dieudonné se dirigió uno de los miembros más activos del conjunto Bourbaki (colectivo que se propuso revisar toda la matemática conocida hacia los años cuarenta del siglo XX y dotar a todas y cada una sus ramas de un rigor extremo), experto en geometría algebraica y análisis funcional. A pesar de todo, somos muchos los fanáticos y También idealistas que pensamos que es necesario el intento (Según redactaba estas líneas, A mí me aparecía el amenaza en el ordenador del nuevo Boletín de la RSME, en el que el flamante editor de publicaciones de la entidad, Joaquín Pérez, señala que «es nuestro deber no Sólo crear nuevas matemáticas, Sino más bien más bien transmitir aquellas ya creadas asegurando la pervivencia del avance de conocimiento en este campo»). En mi caso, mi mayor motivación es el tratar de hacer ver la perfección, dentro de sus escasas limitaciones, de la, para mí, mejor manera de acercarnos al entendimiento de todo lo que nos rodea, y compartir la incomparable satisfacción que conlleva concluir demostrando rigurosamente algo en lo cual llevas mucho tiempo pensando. Particularmente, decírselo a los más jóvenes, aquellos que pueden tomar el relevo en esa enorme empresa. Llega la fecha de meter un tanto de caña y dejar el idealismo. En mi última columna, la de la semana pasada del misterio del 77, algún amable lector comentaba que «parece que el trabajo de los matemáticos es pura superstición. A menudo, los profesionales de las matemáticas se obsesionan con los números y hacen descubrimientos en matemáticas que no son útiles en ese instante Pero que acto seguido pueden poseer aplicación». El artículo no hablaba del trabajo de los matemáticos. Simplemente trata de mostrar, de un modo más bien jocoso (pues las tonterías cabalístico-numerológicas no pueden tomarse de otra forma), que sin un mínimo de rigor es posible deducir cualquier cosa de cualquier otra. Siento no haberlo sabido plasmar totalmente (La mayoría lo valoró Al igual que era; si alguno no lo hizo, obviamente la culpa es mía). Esto Me ha sugerido el probablemente vano intento de explicar (dar una simples pinceladas; no voy a lograr lo que gruesos volúmenes de incuestionables sabios A lo largo de los tiempos no han hecho) qué diferencias existen entre una demostración y… otras cosas. A partir de acto seguido debe quedar claro que el sentido último de cualquier resultado matemático es descubrir una demostración rigurosa y bien hecha. Sin eso, cualquier cosa que Me digan no es que haya que tomarla por falsa, es que no debemos perder ni dos segundos en escucharla. No obstante, ¿qué es una demostración matemática? De contrato a la definición formal descrita a principio del siglo pasado: En terminante, la demostración es un razonamiento que encadena un grupo de deducciones lógicas entre enunciados previamente famosos y demostrados (o aceptados por su indiscutible validez; éstos, unos pocos, son los axiomas, verdades absolutas, Al idéntico que por ejemplo, que dado un punto y una longitud, es posible construir una circunferencia con centro el punto: es indiscutible pues, entre otras razones, la construyo físicamente). No se conoce Hasta el instante ninguna civilización precedente a la griega en la que se hicieran este tipo de razonamientos, por lo cual, podemos notar a los griegos A partir del siglo VI a. C. De exactamente la misma manera que los precursores del rigor lógico-matemático. Al semejante que indica Dieudonné en el libro anteriormente convocado, las primeras demostraciones conocidas por escrito figuran en textos de los filósofos griegos Platón y Aristóteles. En el charla «Menón», Sócrates quiere hacer ver a un joven de qué forma hallar un cuadrado cuyo área sea doble de otro dado ABCD (es decir, la duplicación de un cuadrado, paso previo al intento de duplicación de un cubo, problema que sabemos es irresoluble Por norma general). La primera contestación del inocente jovencita es duplicar el lado del cuadrado (ver imagen). Luego, pacientemente, Sócrates le explica que ese cuadrado no sería doble del dado Sino que cuádruple. Del dibujo se deduce Claramente que en el cuadrado morado hay cuatro cuadrados ABCD. Sin embargo, una mente más analítica, lo demostraría Desde la conocida expresión del área del cuadrado: si el lado del cuadrado ABCD es L, su área es L^2. Al duplicar el lado, esto es, 2L, el área resulta (2L)^2 = 4L^2. Ambas (la gráfica y la de la fórmula) son verificaciones de que el objeto propuesto, no responde a el interrogante planteada por el filósofo. En seguida, Sócrates le afirma que construya un cuadrado cuyo lado sea la diagonal del cuadrado ABCD. Obsérvese que dicha diagonal (en morado ambas) es la hipotenusa del triángulo rectángulo isósceles ADC. En consecuencia el teorema de Pitágoras anda por medio (a ver si el lector es capaz de demostrar por esa vía que el cuadrado rojo es exactamente el doble del original, y que ello da un método general, una demostración). Con el dibujo (y la papiroflexia, De La misma manera que recurso didáctico), es claro que si es que doblamos por el lado AB el triángulo AA’B hacia dentro, y repetimos La misma cirugía con las otras tres solapas triangulares, nos queda un único cuadrado, el original, lo cual prueba que la cantidad de papel que tenemos es doble del cuadrado ABCD. ¿Es esto una demostración similar de rigurosa que la del teorema de Pitágoras? En este caso, sí, Pero no Siempre y en toda circunstancia y en toda circunstancia el dibujo es una demostración rigurosa, Si bien, estrictamente hablando, eso verifica el resultado una vez famosa la construcción. Pero, sin esa construcción dada, ¿cómo la encontramos a partir únicamente del enunciado? Del mismo modo que los profesores de matemáticas (Conforme Dieudonné, La mayor parte somos Solo eso: para poder denominar matemático a alguien, «debería haber encontrado y publicado al menos la demostración de un teorema no trivial») somos un tanto poliédricos en algunos aspectos, intenten demostrar (o bien refutar) si es que es posible ejecutar el dibujo previo de un Solo trazo y sin pasar dos veces por exactamente el mismo sitio (excepción de un punto, en otros términos que no se puede pasar dos veces por exactamente el mismo lado, Sin embargo sí por un mismo punto), y ya puestos, si es que es posible terminar en el punto que se inició. En otros términos, en términos de grafos, ¿es el dibujo precedente un ciclo euleriano o hamiltoniano? Lo precedente es una disputa constante entre matemáticos y Estudiantes. ¿Vale un dibujo Al idéntico que demostración? Es claro que un buen dibujo te puede ayudar mucho a la hora de demostrar algo, No obstante ¡¡cuidado!!: no Siempre y en todo momento y en toda circunstancia vale De este modo como demostración. Les pongo otro par de ejemplos a fin de que mediten acerca de ello (habría mucho más que decir sobre el tema de la demostración, No obstante esto es una reseña en un periódico, no un libro, de modo que, lamento no poder ahondar más en el tema por Hoy; en cualquier caso, Afortunadamente casi ningún colega lee estas reseñas. Esta es otra constante en los matemáticos: no hay tiempo para leer cosas triviales y/o conocidas de sobra, se Precisa para trabajar en las investigaciones que estamos, se Precisa mucha concentración. Y del mismo modo, nos trae al fresco si es que en lo cual trabajamos tiene una aplicación práctica o no. Nosotros estamos en lo nuestro y se terminó, les guste a los demás, lo entiendan, o bien no, a la Ciencia con mayúsculas eso le es indiferente. De modo que al lector que decía lo de que descubrimos cosas que «no son útiles en este momento Sin embargo que a continuación pueden contar aplicación», hablando de nuevo en concepto de posibilidad, Puesto que nos es completamente indiferente. Por eso nos cuesta mucho escribir columnas Del mismo modo que ésta, entre otras cosas). Vamos con los ejemplos. Nos mandan demostrar que: Les dejo otra cuestión que A mí me viene a el cuero cabelludo. Experimentar esto, ¿sería lo mismo que vivenciar que el monto de números impares consecutivos es Siempre y en todo momento y en toda circunstancia un cuadrado perfecto? Un Alumno aplicado nos haría una demostración por inducción, por servirnos de un ejemplo. Si es que alguien nos hiciera un dibujo Al igual que el que mostramos ahora, ¿serviría Del mismo modo que demostración rigurosa? Y la segunda: sabemos que parte superficial de cualquier triángulo es la mitad de la de un rectángulo. Luego, con dos triángulos iguales, En este sentido tal y como los dados, ¿se puede efectuar Siempre y en toda circunstancia un rectángulo? Por supuesto no vale romper, seccionar, doblar o hacer ninguna maldad con esos pobres triángulos. Si no fuese posible, ¿es luego falso el resultado? Al semejante que reflexión terminante, la del escritor y filósofo Bernard le Bovier
de Fontenelle, en 1699: «Solemos llamar inútiles a las cosas que no comprendemos. Es una suerte de venganza y Al igual que Generalmente las matemáticas y la física no son comprendidas, se las considera inútiles». A Fontenelle se le atribuye También la proxima cita, acerca de la que más de uno tendría que reflexionar: «No os toméis la vida demasiado en serio; de todas y cada una maneras no saldréis vivos de ésta». Alfonso Jesús Población Sáez es profesor de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.