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El misterio geométrico resuelto por Desargues

Girard Desargues nació en Lyon en 1591. Poco se conoce de su juventud, No obstante las obras que escribió En medio su madurez lo han llevado a ser considerado uno de los padres de la geometría proyectiva. La geometría proyectiva es tenuemente diferente a la geometría a la que estamos acostumbrados y se fundamenta en Ambos comienzos siguientes: Por una parte, por cada par de puntos está pasando una única recta; y todo par de rectas se cortan en un punto. Ya está, no hay más. Pero Pese a la aparente simpleza de estos principios está dando lugar a destacar que el 2do principio fuerza a introducir un punto en el que se corten cada par de rectas paralelas, este punto se conoce con La denominación de punto del infinito. En una de las obras conocidas de Desargues, ‘Brouillon projet d’une Atteinte aux événements des rencontres du cone avec un plan’, ya aparece el manipulación del punto del infinito y la dualidad punto-recta. Esto último se conoce Además De exactamente la misma forma que principio de dualidad y se basa en el hecho de que los fundamentos básicos de la geometría proyectiva son simétricos, es decir, intercambiando Los dichos ‘recta’ por ‘punto’ y el verbo ‘pasar por’ por ‘cortarse en’ obtenemos los mismos comienzos básicos (el primero está pasando a ser el 2do y el segundo pasa a ser el primero). Este hecho hace que cualquier teorema proyectivo genere otro resultado igualmente válido sin más que hacer los cambios ya descritos punto-recta. Sin embargo vamos a lo que nos ocupaba, el reto planteado la semana anterior en el artículo ‘Un reto muy geométrico’. La solución al reto
El enunciado del reto decía que: «Dadas dos rectas r y s que son secantes (No obstante cuyo punto de corte no es accesible) y dado Además un punto P exterior a ambas rectas, utiliza el Teorema de Desargues para dibujar la recta que pasa por P y por el punto de corte de las dos rectas r y s». Recordemos que el Teorema de Desargues lo podíamos enunciar Del mismo modo que sigue: «Dados dos triángulos ABC y DEF las rectas AD, BE y CF se cortan en un Solo mismo punto sí y Solo si los tres puntos que resultan de la intersección de los pares de rectas (AB, DE), (AC, DF) y (BC, EF) están alineados» y se puede representar este Teorema del modo siguiente: Por ende, el resultado en cuestión nos viene a decir que el hecho de que las rectas AD, BE y CF se corten en un Sólo mismo punto, que hemos llamado O BIEN, es equivalente a que los tres puntos que surgen de la intersección de los pares de rectas (AB, DE), (AC, DF) y (BC, EF) están en una recta, que hemos llamado t. La solución
Nuestro fin es encontrar un punto, llamémosle Q, de modo que las rectas r, s y PQ se corten en un Solo mismo punto. En tanto que nos Deseamos agarrar en el Teorema de Desargues vamos a intentar describir esta ocasión en la forma descrita por expresado teorema. Para ello, escogemos al azar dos puntos en cada una de las rectas r y s, llamémosles A, B, D y Y De la misma forma. Por el teorema ya mencionado, (si pensamos en los triángulos ABQ y DEP) el hecho de que las rectas AD, BE y QP se corten en un Solo mismo punto es equivalente a que los tres puntos (llamémosles respectivamente U, V y W) que resultan de la intersección de los pares de rectas (AB, DE), (AQ, DP) y (BQ, EP) estén alineados. Del mismo modo que no sabemos donde está Q no vamos a poder dibujar los puntos V y W, Pero sí que podemos conseguir U, Porque es la intersección de las rectas AB y DE, las cuales tenemos completamente determinadas. Del mismo modo que Queremos que U, V y W estén alineados, trazamos una recta cualquiera que pase por U, llamémosla t, esa recta es en la que se encontraran Además V y W. Recordemos que los puntos V y W son la intersección, respectivamente, de las rectas (AQ, DP) y (BQ, EP). Por otra comunicado Al igual que Queremos que Los dos puntos pertenezcan a t, se tiene Además que V y W son la intersección, respectivamente, de las rectas (t, DP) y (t, EP) y Del mismo modo que todo esto sí que lo conocemos, podemos localizar los puntos V y W. Al semejante que V es la intersección de (AQ, DP) y W es la intersección de (BQ, EP) tenemos que, particularmente, la recta AQ debe pasar por V y la recta BQ tiene que pasar por W. Por lo previo debemos Q tiene que estar en la recta AV y Por su comunicado en la recta BW por lo que podemos determinar Q Del mismo modo que la intersección de las rectas AV y BW. ¡Ya tenemos el tan ansiado punto Q! Si dibujamos los triángulos ABQ y DEP, Vemos que los tres puntos (U, V y W) que surgen de la intersección de los pares de rectas (AB, DE), (AQ, DP) y (BQ, EP) están alineados (se encuentran todos sobre la recta t), y Según Desargues esto es equivalente a que las rectas AD, BE y PQ se cortan en un mismo punto, que es justo lo que queríamos hacer, que era trazar una recta pasando por P y que pasara Asimismo por el punto de corte de las rectas r y s. Agradecemos a los lectores del ABCdario de la Matemáticas el interés mostrado en el reto y destacamos que todas y cada una las respuestas que nos han hecho llegar, tanto A lo largo de los comentarios del artículo precedente Del mismo modo que vía twitter, son acertadas. Gracias y ¡enhorabuena! Víctor M. Manero (@pitimanero) es maestro de la Universidad de Zaragoza y miembro de la comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.