Éranse una vez cuatro Alumnas del Trinity College en Cambridge (Reino Unido), centro que se considera a sí mismo Al idéntico que “una institución académica dirigente mundial, con una destacada historia y tradición en educación, enseñanza e investigación”. Si es que bien la historia inicia un poco Antes de conocerse allí: fue a finales de 1934 o bien principios de 1935, en el horario el profesor William Dean visitó el colegio de nuestro 1er protagonista, Arthur Stone, y en su charla dijo que el problema de demostrar que un cuadrado no podía ser diseccionado en un número finito de cuadrados distintos (conocido Asimismo que conjetura de Lusin) estaba todavía sin resolver. Se conocían entonces los llamados rectángulos perfectamente cuadrados o bien «rectángulos perfectos», que son aquellos que se pueden dividir en cuadrados diversos, Al idéntico que el —casi cuadrado— de dimensiones 33 x 32 que se puede descomponer en nueve cuadrados de lados 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 y 18, descubierto por el matemático polaco Zbigniew Moron en 1925. Él mismo demostró que es imposible realizar un rectángulo perfecto con menos de nueve cuadrados. Más adelante, el propio Stone recibió una disección del rectángulo de dimensiones 177 x 176 en once cuadrados distintos. A la derecha, el cuadrado de Moron. A la izquierda, el de StoneYa en 1902, el matemático autodidacta y famoso creador de rompecabezas Henry Dudeney había publicado en la gaceta «The London Magazine» un puzle titulado “Lady Isabel’s Casket”, en el que proponía dividir un cuadrado de dimensiones 20 x 20 en Varios cuadrados de diferente tamaño y un rectángulo estrechito de dimensiones 10 x 0,25. Recientemente se ha descubierto que la solución dada por Dudeney no es única. Única solución del problema de DudeneyDespués de ingresar al Trinity College en 1935, y con Los dichos de Dean resonando en su cabeza, Arthur Stone compartió el problema con sus recién estrenados colegas, los Alumnos de Matemáticas Leonard Brooks y Cedric Smith y el chico de Químicas, William Tutte, a continuación autoproclamados ‘Important Members’ de la asociación de Alumnas ‘The Trinity Mathematical Society’. A lo largo de el periodo 1936-1938 trabajaron en la conjetura, a la que Tutte bautizó irónicamente Como la cuadratura del cuadrado, y lograron resolver el problema. ¿Cómo? Resultó cierto lo que parecía imposible: sí existen cuadrados que se pueden dividir en cuadrados más pequeños, todos ellos de distinto tamaño. No hay mejor demostración que detectar una solución, y los cuatro amigos encontraron un cuadrado que se podía descomponer en 69 cuadrados diferentes. Poco duró su alegría, Porque pronto se enteraron de que el matemático alemán Ronald Sprague se les había adelantado al obtener descomponer un cuadrado de lado 4205 en otros 55 cuadrados diferentes, con ayuda de los rectángulos de Moron. Cuadrado de SpragueAhora bien, a nuestros protagonistas se debe el estudio sistemático del problema, al reinterpretarlo en términos de circuitos eléctricos con resistencias variables (que llamaron diagramas de Smith), De esta forma que pudieron simplificar la búsqueda y obtener otras soluciones más pequeñas. En verdad, en 1940, los llamados ‘Cuatro de Trinity’ localizaron una solución considerablemente mejor: un cuadrado de lado 608 descompuesto en 26 cuadrados diversos, Debido a esta preciosidad de fórmula: Cuadrado de Brooks, Smith, Stone y Tutte (formado por otros 26 cuadrados)En ese trabajo, estudiaron También el problema de ‘triangularizar triángulos’, en otros términos, descomponer un triángulo cualquiera en triángulos diferentes Pero todos equiláteros, utilizando La misma teoría de circuitos eléctricos asociados. No dan ninguna solución general Sin embargo indican que no existe ninguna descomposición de un triángulo equilátero en triángulos equiláteros distintos. Incluso se atreven con el problema tridimensional, de descomposición de un cubo en cubos distintos, Pero lo finiquitan demostrando que no existe tal ‘cubo perfecto’. Al idéntico que se puede suponer, una vez desechada la conjetura de Lusin y con la incursión de la Informática, la búsqueda de mejores soluciones no se haría esperar. Ahora se sabe que el número más pequeño de cuadrados diversos que, A su vez, constituyen un cuadrado es 21 y ese grupo es único. A partir de ese valor, aumenta el número de soluciones: 8, 12, 26, 160, … para descomposiciones en 22, 23, 24, 25, … cuadrados distintos, respectivamente. En la monumental ‘Enciclopedia de Sucesiones de Números Enteros’ se añade la sucesión A006983 que muestra las soluciones conocidas Hasta la fecha. Queda lejos una fórmula general que recoja todos y cada uno de los casos. De La misma manera que homenaje a nuestros cuatro protagonistas, el logo oficial de la ‘Trinity Mathematical Society’ consiste en la solución más chiquita del problema de la cuadratura del cuadrado, descubierto por el informático holandés Adrianus Duijvestijn con ayuda de un ordenador en 1978. Versa de un cuadrado de lado 112 descompuesto en 21 cuadrados distintos. De la misma forma, es fácil en el sentido de que no es posible formar un rectángulo con un grupo más pequeño de estos cuadrados. El artista R.R.G. Rivington fabricó una mesa cuadrada cuyo diseño estaba inspirado en la descomposición que nuestros cuatro protagonistas lograron de un cuadrado de lado 608 en 26 cuadrados diversos. A la izquierda, logo de la “Trinity Mathematical Society” y a la derecha Cuadratura de Duijvestijn Mesa del Trinity College, realizada por R.R.G. Rivington en 1982Antes de que la vida condujera a los cuatro de Trinity por diferentes caminos plagados de éxitos profesionales, continuaron estudiando inconvenientes matemáticos en común —lograron, por servirnos de un ejemplo, dividir un cuadrado en rectángulos de exactamente la misma área Sin embargo distintos dimensiones y en triángulos rectángulos de distinto área— y publicaron algunos de sus resultados con el sobrenombre de Blanche Descartes Pero … esta es otra historia. Pedro Alegría. Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea. Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la RSME