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¿Qué son las ‘Matemáticas Singapur’?

Singapur era hace 50 años un país en vías de crecimiento, sin recursos naturales. A finales del siglo XX inició a encabezar los resultados de las pruebas internacionales más conocidas, Del mismo modo que PISA, TIMSS o PIRLS, tanto en matemáticas Del mismo modo que en ciencias o bien lengua. Al progreso educativo le han acompañado el progreso económico, y Singapur es en nuestros días uno de los países más ricos del mundo. Pero no es sencilla analizar por completo las razones de este progreso económico, existe una opinión bastante extendida de que el logro en educación ha tenido un papel fundamental. En este progreso educativo existen con seguridad razones sociológicas (Del mismo modo que la valoración oriental del trabajo y el saber) Sin embargo Además puramente educativas (elegir bien qué enseñar y de qué forma enseñarlo). Particularmente, esto es cierto en matemáticas, que es el área en la que Empezaron sus reformas a principio de los años 90. La enseñanza de las matemáticas en Singapur hace 50 años era tradicional, y sus resultados, modestos. Según Yeap Ban Har, una de las figuras más conocidas, A nivel internacional, en la divulgación de este enfoque de la enseñanza de las matemáticas, estos son los equivocaciones que cometían en su país en aquellos años: demasiados cálculos tediosos y largos, cuya utilidad en estos tiempos es cuestionable; aprendizaje de procedimientos sin comprensión; excesivo manipulación del aprendizaje memorístico. Pero es complicado generalizar, sí creemos que estas prácticas están bastante extendidas en la forma en que se enseñan y aprenden matemáticas en nuestras aulas. Así se refleja en los estudios internacionales Ya antes mencionados, donde nuestros Pupilos muestran ser capaces de resolver las cuestiones básicas, de carácter repetitivo, Pero tienen muchas más dificultades en la fecha se enfrentan a tareas de mayor exigencia cognitiva, Del mismo modo que el razonamiento y la Decisión de incidentes no rutinarios. La reforma que se desarrolló en Singapur A lo largo de los años 80 dio opción a lo que ahora se conoce en los países de nuestro Ambiente Tal y como ‘Matemáticas Singapur’ Pero, Al igual que sus promotores reconocen, «no hay nada de Singapur en esas matemáticas». Los comienzos en los cuales se basa esta metodología son occidentales, y bien conocidos en el área de Educativa de las Matemáticas. Lo cual llevaron a cabo en Singapur fue una síntesis de estos inicios, y basados en ellos desarrollaron una forma de enseñar matemáticas que pudieron trasladar a sus aulas con los excelentes resultados que hemos mencionado. En Singapur consideran la Resolución de problemas De exactamente la misma manera que La meta central del aprendizaje de las matemáticas, y este hecho está muy bien resumido en la imagen (de elaboración propia, Desde la que figura en la documentación del Ministerio de Educación de Singapur): los conceptos, las habilidades, las actitudes, los procesos y la metacognición son fundamentales, No obstante todos estos componentes del proceso de aprendizaje tienen un objetivo común: la Decisión de problemas. Las características de este enfoque de enseñanza de las matemáticas se aprecian mejor en las primeras etapas, en la Educación Primaria. Es en esta etapa donde Múltiples de los principios metodológicos que en seguida expondremos tienen más importancia, y donde los resultados de Singapur en las pruebas internacionales son más llamativos. En la prueba de TIMSS de 4º de Educación Primaria, el liderazgo de Singapur es cada vez más claro. En particular, resulta muy llamativa la cantidad de sus Alumnos que llegan al máximo nivel en la demuestra, denominado «Avanzado», y que muestra que los Estudiantes son capaces de resolver problemas no rutinarios. En tanto que en el conjunto del estudio el 7 % de los Alumnos alcanzan este nivel, en la ocación de Singapur la cifra es del 54 POR CIEN. Su liderazgo en este aspecto es especialmente llamativo, pues le siguen Hong Kong con el 38 % y la República de Corea con el 37 POR CIENTO. En este indicador nuestros resultados son especialmente preocupantes, Ya que Sólo un 4 % de nuestros Pupilos alcanzaron ese nivel de resultados. Pensamos que este contraste ya es suficiente para conjeturar que el enfoque de la enseñanza de las matemáticas que emplean en Singapur en esas etapas educativas está generando un buen aprendizaje. Vamos a procurar dar una descripción rápida de los inicios metodológicos que están en la base de las ‘Matemáticas Singapur’. Despues daremos algún ejemplo concreto de cómo se pueden aplicar estas ideas en la enseñanza de las matemáticas de primaria. Seguramente la idea más particular es la del aprendizaje en tres etapas, debida a Jerome Bruner: para que los Pupilos puedan entender un nuevo concepto matemático deben comenzar con una primera fase manipulativa, en la que se utilizan materiales concretos; la 2da etapa tiene que ser gráfica, y en ella se representa la datos; Para acabar, en la 3era, la simbólica, es donde las ideas precedentes se formalizan para llegar al lenguaje matemático tradicional. Por servirnos de un ejemplo, si Queremos que los Alumnos adquieran sentido numérico y comprendan la notación posicional, es fundamental que tengan la oportunidad de disponer en situaciones diversas, y de emplear materiales Del mismo modo que los bloques de base 10 de la imagen, diseñados para ayudar a comprender que un conjunto de 10 unidades forma una decena, y que 10 decenas forman una centena. Richard Skemp viajó un matemático británico que se interesó en la educación matemática, y que por ello cursó Asimismo estudios de psicología. Una de las contribuciones más relevantes de Skemp al desarrollo de la educación matemática se dirigió la distinción entre comprensión instrumental y comprensión relacional. En el horario un Alumno afirma que entiende de qué manera se dividen dos fracciones, pues las multiplica en cruz, está mostrando comprensión instrumental, conoce el método. La comprensión relacional (es tentador calificarla De La misma manera que la comprensión real) requiere que el Estudiante comprenda el significado de la intervención y que sepa relacionarla, por ejemplo, con la división de números naturales que ha estudiado en cursos anteriores. Richard Skemp aseveró que Sólo hay auténtico aprendizaje Cuando se alcanza esta comprensión relacional, y que aprender los procedimientos sin entender lo cual se está haciendo, y sin poder relacionarlo con otros contenidos matemáticos, es algo que debemos evitar. Uno de los comienzos directores del currículo de Singapur es tratar en cada instante lo cual los Alumnos puedan entender, y Además introducir los distintos procedimientos en el horario los Pupilos están preparados para comprender su funcionamiento, y dedicando el tiempo suficiente para que puedan conseguir esa comprensión. Probablemente los docentes que estén leyendo este publicación habrán reaccionado ante esta última frase: La falta de tiempo es una de las quejas más frecuentes en nuestro sistema. ¿Qué realizaron en Singapur para tener de ese tiempo preciso para trabajar los conceptos en profundidad? 1. Una revisión del currículo, eliminando contenidos que consideraban menos importantes. Estudian menos cosas, para poder estudiarlas mejor. 2. Eliminar la repetición de contenidos: Una vez que algo se estudia en profundidad, se puede repasar, y se tiene que usar más adelante, No obstante no es necesario regresar a estudiarlo. La repetición de contenidos, pues no se han aprendido Cuando se vieron anteriormente, es uno de los incidentes más frecuentes en nuestras aulas. Ciertas ideas de Lev Vygotski están Asimismo entre las más importantes de esta metodología: 1. La importancia del andamiaje y la zona de desenvolvimiento próximo. Es importante diseñar las secuencias didácticas para que las actividades propuestas estén próximas a lo cual los Pupilos ya conocen. Cada vez que se provoca un salto demasiado grande corremos el riesgo de que algunos Alumnos no comprendan lo cual hacemos, y se vayan quedando rezagados. 2. La relevancia del aprendizaje entre iguales, y la importancia de la verbalización. Sin menoscabo del papel del docente Del mismo modo que transmisor de conocimientos, es esencial dar oportunidades para que los Estudiantes verbalicen sus razonamientos. Una vez que explicamos lo cual hacemos se profundiza nuestro entendimiento. Veamos ciertos ejemplos concretos de propuestas didácticas que nos semejan especialmente relevantes, por su importancia en el aprendizaje. El sentido numérico se suele definir Al parecido que la comprensión de los números y su significado, sus relaciones, y cómo esto se puede aplicar a calcular de forma flexible y razonada. Las descomposiciones numéricas son probablemente la clave para el crecimiento del sentido numérico y, Del mismo modo que ocurría con los fundamentos metodológicos, no son específicas de las matemáticas Singapur. La aportación de esta metodología ha sido su incorporación en el crecimiento del cálculo. En Singapur charlan de «number bonds» (números conectados) y los representan De esta manera como se muestra en la imagen. El número conectado permite resumir la situación de la imagen, y ayuda a la conexión de los significados de el monto y la resta, fundamental al arranque del estudio de estas operaciones. Los números conectados son propiedad de enorme utilidad para calcular sumas y restas de números de dos cifras, Sin embargo vamos a mostrar un ejemplo un poco más avanzado, viendo de qué manera También se pueden utilizar para el cálculo de divisiones. Supongamos que Deseamos calcular . Si Deseamos hacer este cálculo sin recurrir al algoritmo tradicional, seguramente la primera alternativa que se nos puede suceder es descomponer 48 De exactamente la misma forma que 4 decenas y 8 unidades, dicho de otro modo, . Si es que bien, esta no es en especial adecuada para hacer este cálculo, pues 40 no es divisible entre 3. Si es que hemos trabajado de manera sistemática las descomposiciones numéricas, y si nos ayudamos de las representaciones del 48 con los bloques de base 10, Al similar que en la imagen, nos podemos dar cuenta de que 48 De la misma forma se puede descomponer Tal y como se muestra en manera de número conectado, y esta descomposición nos permite completar la división propuesta: Recordemos que El fin no es que los Alumnos dividan Así Durante todo el aprendizaje. La idea de las tres etapas de Bruner es que en la primera etapa los Alumnos hacen estos cálculos con ayuda de materiales manipulativos y en una segunda etapa lo representan gráficamente, De La misma manera que hemos hecho acá. Esto deja que alcancen una comprensión profunda de los procesos involucrados y que en la última fase, la simbólica, sean capaces ya de calcular sin apoyo adicional y comprendiendo el tratamiento. El modelo de barras es Indudablemente la herramienta más conocida de la metodología Singapur, y es de enorme ayuda en la Resolución de inconvenientes. La idea es muy sencilla: las barras son rectángulos, con los que representamos los datos del problema, y las relaciones que hay entre ellos. En la imagen se exhiben los modelos que resumen una buena una parte de los incidentes de estructura aditiva que aparecen en los primeros cursos de primaria, en los cuales tenemos un total, y dos partes. Si es que conocemos las partes, y nos pregunta el total, será un problema ‘de sumar’. Si es que, por el contrario, conocemos el total y una de las partes, va a ser un problema ‘de restar’. Es una herramienta que se introduce en 2º EP, y que hay que trabajar con paciencia, pues Se trata de un repuesto significativo en la forma de pensamiento. Hasta ese instante los Pupilos han visto las cifras de forma explícita, y en este momento ven un rectángulo que representa una volumen en un problema, y otra cantidad totalmente distinta en el problema próxima. Se trata, en definitiva, de comenzar a desarrollar el pensamiento prealgebraico, fundamental en el aprendizaje de las matemáticas. No Se trata, por supuesto, de una ‘receta mágica’, por el hecho de que no todos y cada uno de los incidentes aritméticos se pueden resolver con ayuda de este modelo, Pero sí es de gran ayuda en una buena comunicado de los incidentes que se estudian en la Educación Primaria (aparte de apoyar la introducción al álgebra en Secundaria, Tal como Veremos en un instante). Para finalizar, veamos dos ejemplos de incidentes de cursos más avanzados donde el modelo de barras muestra su potencial. Pablo tiene la mitad de dinero que Laura, y María tiene 7 euros menos que Laura. Si es que entre los tres tienen un total de 233 euros, ¿cuánto dinero tiene cada uno? En la imagen vemos el modelo de barras que representa la datos del enunciado. A la vista de la imagen, creemos que no es difícil darse cuenta de que, añadiendo 7 euros al total, aparecen 5 rectángulos iguales, por lo cual cada uno de ellos representa euros. Con esta datos, es inmediato contestar cuánto dinero tiene cada uno. Este ejemplo Asimismo es útil para darse cuenta de de qué forma el modelo de barras se puede emplear De exactamente la misma forma que introducción al álgebra. Si es que, guiados por el modelo de barras, llamamos a la cantidad de dinero que tiene Pablo, luego Laura tiene y María . Sumando las tres cantidades, obtenemos la ecuación. El modelo nos sirve, a su vez, para comprender cómo podemos resolver esta ecuación: si es que sumamos 7 en Ambos términos obtenemos la ecuación , equivalente a la anterior, No obstante más sencilla de resolver. Evidentemente, También podríamos haber comenzado llamando a la volumen de dinero que tiene Laura, y en ese caso obtendríamos otra ecuación equivalente a la anterior: . Para terminar, dejamos propuesto un problema tomado de manera directa de la prueba que están haciendo en Singapur al concluir su etapa de primaria. La duración es de 6 cursos, parecido que en nuestro país. El reto, claro, es solucionar el problema sin métodos algebraicos. Luis y Nuria hicieron tarjetas A lo largo de un par de días. El sábado Nuria hizo 19 tarjetas más que Luis. El domingo, Nuria hizo 20 tarjetas, y Luis hizo 15. Al terminar Los dos días, comprobamos que Nuria hizo 3/5 del total de las tarjetas. ¿Cuántas tarjetas hizo Luis? Pedro Ramos Alonso es profesor Titular del Departamento de Física y Matemáticas de la Universidad de Alcalá de Henares (La capital española) El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME)..