Seguramente La mayor una parte de los lectores de este periódico habrán usado alguna que otra vez en sus narraciones alguna parábola. Sí, sí, en el sentido literal de la palabra, es decir el de la «narración de un acontecimiento fingido de que se deduce, por comparación o bien semejanza, una verdad esencial o una enseñanza moral». Imaginemos por un instante Al idéntico que evolucionaría nuestra narración «parabólica» en manera gráfica. Usemos un eje vertical, que llamaremos y para representar numéricamente nuestras frases, digamos su orden, y un eje horizontal, que llamaremos x, para significar el significado de exactamente las mismas. Tal como estamos hablando «parabólicamente», cada frase deberá un único sentido «fingido» y otro de «enseñanza moral» que se obtiene por comparación o bien semejanza. Pues bien, si es que nuestra narración comunicado de cero, que representamos por la intercepción entre Ambos ejes, los sentidos de cada oración se pueden alcanzar A lo largo de la ecuación: donde, por cada frase y existe una única x negativa, que representa el sentido fingido de la frase, y una única x positiva que representa su enseñanza ética. Es sencilla darnos cuenta de que esta ecuación es la de una parábola en el sentido matemático: La parábola es un tipo de curva plana. Esta clase de curva plana se puede pensar De esta forma como la huella que permite un punto al moverse por el plano Euclidiano real x, y
. Ciertos ejemplos, aparte de la ya mencionada parábola, se ilustran más tarde. Une los puntos
Aunque las curvas planas son curvas continuas, las podemos aproximar Mediante curvas poligonales. Vale, no estoy complicando nada, De manera fácil es un nombre técnico para el «une los puntos» de toda la vida. De esta manera, nuestro lector va a poder fabricar sus propias curvas planas si es que dispone de un programa de hojas de cálculo. En un Solo caso así usaremos tres columnas, la 1era la denotaremos por t, la 2da por x y la última por y. En la columna t vamos a escribir números en un rango determinado. Pongamos por ejemplo que escribimos los números entre 0 y 100 con un crecimiento de 0.1. En la segunda y 3era columnas vamos a escribir las fórmulas de las variables x e y en función del parámetro t para la curva plana que vamos a dibujar. Elijamos valores de a y b diversos de cero y escribamos por ejemplo las ecuaciones de La próxima tabla: Estas ecuaciones se conocen Del mismo modo que ecuaciones paramétricas, Porque las coordenadas de la curva plana se escriben en función de un parámetro: t. En un caso así la curva plana que hemos construido se conoce Tal y como cardiode. De esta forma los matemáticos demostramos que sí tenemos corazón. Si es que en seguida insertamos un gráfico de dispersión con líneas de conexión estaremos visualizando una aproximación a la curva que hemos creado. Cuanto menor sea la separación de los puntos en la columna t
, mejor va a ser nuestra aproximación. ¿Dónde están las curvas?
Como Siempre y en todo momento y en toda circunstancia, las matemáticas hay que buscarlas a nuestro cerca de, Sólo tenemos que mirar con detenimiento. Lo mismo pasa con las curvas. Primero les mostraré algunos ejemplos de dónde localizar las curvas planas que hemos visto previamente. Por ejemplo, si lanzamos una piedra al aire, ésta describirá exactamente la misma trayectoria que cualquier proyectil lanzado al aire A partir de la tierra. Del mismo modo que demostró el gran Galileo Galilei, estos proyectiles describirán una parábola En este sentido como consecuencia de la aceleración uniforme de la gravedad. La gravedad es También responsable de que la órbita de los planetas cerca de del Sol describan otra curva plana. Tal y como probó Johannes Kepler, la órbita de una partícula moviéndose en un Solo lugar central de fuerzas en el cual la fuerza centrípeta cambia inversamente con el cuadrado de la distancia, describe una elipse. En el momento Ernest Rutherford investigaba el núcleo atómico bombardeó este con partículas cargadas de forma positiva, llamadas partículas alfa. Sus experimentos concluyeron que las partículas alfa se desviaban del núcleo atómico siguiendo trayectorias hiperbólicas. Esto le llevó a la conclusión de que el núcleo estaba cargado de forma positiva y Por eso repelía las partículas alfa. Otras curvas planas son más difíciles de ver hasta que sabemos dónde están. Un ejemplo es en el horario vamos a un recital de nuestra banda o bien solista favorito. El cantante Normalmente deberá el sonido de la banda detrás, por lo cual su micrófono debería atraer Solo el sonido de su voz y en menor medida el de sus laterales. En los últimos cincuenta años el micrófono más usado por los cantantes ha sido el SM58, un micrófono cuya distribución de sensibilidad auditiva describe una cardiode. Los micrófonos cardiodes captan el sonido siguiendo el patrón de esta curva plana, lo que se traduce en una mayor sensibilidad hacia los sonidos de la voz del cantante y mucho menor a los sonidos que llegan de detrás. A continuación buscaremos otras curvas planas a nuestro cerca de. Si es que prestamos atención a una cadena que cuelga entre dos postes observaremos La misma curva plana que si observáramos las líneas aéreas de alta tensión eléctrica, o bien aun si es que prestamos atención a los hilos de seda de una telaraña. Estas curvas son conocidas De La misma manera que catenarias y se pueden ver Además en las obras de Gaudí, Del mismo modo que la Sagrada Familia de Barna. Quizá algunos de nuestros lectores hayan estado observando meticulosamente la trayectoria de algún planeta cerca de del Sol y hayan observado que lo de las elipses de Kepler… Bueno, es cierto que las elipses no son exactamente lo que observamos en la fecha seguimos el movimiento planetario con un telescopio. La cuestión es que el punto de observación está fijo en la Tierra y esta gira alrededor del Sol. Por ende, la trayectoria del mundo que estamos observando en realidad se convierte en unas curvas planas bastante complicadas, que describen movimientos hacia adelante y cara atrás, son las llamadas: epitrocoides. Si es que alguna vez han estado de noche en el sector quizá hayan observado que los insectos se acercan a la luz artificial de una manera extraña, De esta forma tal como dando vueltas en espiral que cada vez se aproxima más a la luz. En efecto, el movimiento de los insectos alrededor de dicha luz describe una espiral logarítmica Gracias a que los mismos tratan de ver la luz a un ángulo constante con la dirección de vuelo, justo Al idéntico que están haciendo en el momento vuelan en línea recta hacia la dirección del Sol. Por último, quisiera mencionar una curva que nos garantiza seguridad al manejar por una carretera con curvas. Esta familia de curvas es empleada para conectar secciones rectas de carreteras o de vías férreas con secciones curvas de exactamente las mismas, o bien para conectar secciones curvas de la vía que poseen distintos curvaturas. Si es que a usted se le ha sucedido la idea de conectar dos secciones rectas de una carretera con un portería de circunferencia, sepa que no iba por mal trayecto, Ya que este fue el método empleado por los ingenieros En medio muchos años. Dichas conexiones garantizan unir los tramos usando el camino mas corto. Pero este diseño limitaría sensiblemente la velocidad en las curvas Puesto que la obliga centrífuga nos haría perder el control y acabar Siempre y en todo momento en el arcén. Este problema se dictaminó usando una curva en la cual el radio disminuye suavemente A partir de la recta hasta el principio de la curva circular Y luego se repite al salir de la curva para entrar en otro tramo recto, en este caso aumentando paulatinamente el radio. De esta forma, el repuesto de la obliga centrífuga no sería brusco y podríamos ir a una mayor velocidad a la entrada y salida de las curvas, tal También que hacemos La jornada de hoy en jornada. La curva que mejor resuelve este problema se dirigió descubierta mucho Antes de que surgiera el problema de las carreteras, bueno mucho Ya antes que existieran las carreteras tal y Al igual que las conocemos Hoy en jornada. Esta curva se conoce De exactamente la misma forma que clotoide, espiral de Cornú o bien espiral de Euler. En exactamente la misma, el radio de curvatura cambia inversamente con la distancia recorrida, lo cual garantiza una salida suave de las curvas en carreteras y vías férreas. Esta curva tiene ecuaciones paramétricas algo más complicadas que las Ya antes vistas y viajó propuesta por el físico Marie Alfred Cornú para solucionar problemas de difracción en óptica. La misma tiene otras aplicaciones interesantes que permito a la investigación de nuestro lector. Curvas por diversión
No cabe duda de que las curvas planas Ya antes mencionadas y muchas otras que el lector puede descubrir navegando la red son útiles e interesantes. Sin embargo ¿divertidas? No hay que exagerar. Hace un par de años este músico y escritor se propuso la problemática de si se podrían construir curvas planas de cierto valor artístico, No obstante ya sabemos que expresado valor está en los ojos del que mira. Para fabricar dichas curvas inventó la proxima transformación. Tomemos nuevamente nuestra variable t, Pero en este caso Solo tomará valores enteros: 1, 2, 3,…, etc. Estos números se pueden transformar en otra serie de números sumando sus dígitos y acto seguido multiplicando el resultado por el numero original. Por poner un ejemplo, si el número es 251, sumamos sus dígitos: 2+5+1=8 y el resultado lo multiplicamos por 251, 251*8=2008. Si es que representamos gráficamente, con nuestra hoja de cálculo, los valores x=t y y=T(t), donde T representa la transformación Antes descrita, lo cual obtenemos… permanece siendo bastante aburrido. Bueno, apliquemos esta estrategia a cualquier función. Para no escribir más ecuaciones Me limitaré a describir un ejemplo, digamos para el seno del número 251: Bien, si es que en seguida representamos gráficamente: x=T(t); y=T(sin(t)) obtendremos una curva plana. De igual forma si usamos: x=2T(cos(t))+T(cos(2t)); y=2T(sin(t))+3T(sin(2t)) obtendremos otra. Ambas curvas planas se exhiben debajo. He añadido colores para dar capturas más «artísticas», Sin embargo las figuras en sí las han formado los números enteros por sí solos, usando la transformación Ya antes descrita (ver más en Mathematical Intelligencer 40(1), 2018 pp. 73-78). Ahora Solo nos queda abandonar volar nuestra imaginación y hacer combinaciones de estas funciones para crear paisajes de ámbitos con mariposas y estanques con peces De este modo tal como los que soñábamos en nuestra niñez. Pero En esa situación Sólo acontencimientos Desde números enteros. Espero que nuestros lectores hayan captado la idea de que las matemáticas están alrededor nuestro, en todas y cada una partes, Sin embargo Además dentro de nuestra imaginación y inventiva. Quizás este artículo les motive a explorar más acerca de estas y otras curvas y funciones matemáticas, quizá se animen a convertirse en matemáticos profesionales o hinchas, o bien quizá simplemente haya hecho volar su imaginación por un instante a parajes jamás Ya antes visitados. En cualquiera de estos casos este artículo va a haber cumplido con creces su cometido. Ernesto Estrada, Estudioso ARAID en el colegio Universitario de Matemáticas y Aplicaciones (IUMA) de la Universidad de Zaragoza. Miembro Honorifico de la Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas (SIAM). El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Real Sociedad Matemática Española (RSME).