En un artículo reciente del «ABCdario de las matemáticas» hablábamos de «La sociedad secreta de Pitágoras y el “superpoder” de los números figurados». Explicábamos de qué forma obtener el resultado de Algunas sumas complejas Solo observando un dibujo, sin necesidad de coger el boli y hacer sesudas operaciones. También contábamos la anécdota (posiblemente apócrifa) de un jovencísimo Gauss sorprendiendo a su profesor de aritmética sumando 1+2+3+…+100=5050. Este resultado puede calcularse con la fórmula 1+2+…+n= n(n+1)/2 para el valor n=50, Sin embargo Asimismo se deduce de un Sólo vistazo a la figura adjunta: No obstante en el artículo convocado dejábamos en el tintero una pregunta, ¿puede alguna mente privilegiada efectuar una hazaña mayor y con un argumento visual incluir los primeros números cuadrados: 1^2+2^2+3^2+….+n^2 ? ¡Vamos convencer al lector de que esto puede hacerse! Y a su vez sin apenas pestañear. Consideremos para este problema pequeños cubitos Al idéntico que unidad. Deseamos agregar los siguientes cubitos: Lo cual equivale a contar cuántos cubitos hay en La próxima pirámide, Que vista A partir de atrás tiene esta pinta, ¿verdad? Vamos a hacer algo parecido a lo cual hicimos para sumar 1+2+3+…+n Una vez que duplicamos el triángulo formado por los cuadraditos para formar un rectángulo. En un caso así consideramos TRES pirámides con 1^2+2^2+3^2+…+n^2 cubitos cada una. Estas tres pirámides podemos acoplarlas Del mismo modo que se indica en la figura, No obstante a diferencia del caso previa en el que Ambos triángulos de cuadraditos acoplados formaban un rectángulo, en este las tres pirámides de cubitos acoplados no forman un ladrillo perfecto (figura que recibe El nombre de ortoedro). Lo que obtenemos es un bloque de ancho n, largo n+1 y en dos alturas (¡hay un escalón en la azotea!). Pero, si nos fijamos, Ambos niveles que hay en la azotea son congruentes, de modo que podríamos recortar el nivel de mayor altura por la mitad y rellenar el nivel de menor altura, aplanando la azotea sin que hayamos quitado ni añadido cubo alguno al edificio. Ahora podemos tener el número de cubitos de este bloque sin más que multiplicar, largo x ancho x alto. Tenemos entonces que 3 (1^2+2^2+3^2+…+n^2) = n(n+1)(n+ ½ ) La única niña cuenta que tenemos que hacer es incluir n con ½ 3 (1^2+2^2+3^2+…+n^2) = n(n+1)((2n+1)/2) Y despejar la expresión buscada 1^2+2^2+3^2+…+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6. ¡No está nada mal! ¡¡El próxima paso sería atreverse con la suma de los primeros n cubos 1^3+2^3+3^3+-…+n^3 !! Curiosamente, esta suma tiene una expresión realmente sencilla y sorprendente. 1^3+2^3+3^3+…+n^3 = (1+2+3+…+100)^2 Este resultado recibe El nombre de Teorema de Nicómaco en honor a Nicómaco de Gerasa, matemático y filósofo que vivió en Siria entre los años 60 y 120 d.C. Nicómaco, considerado neopitagórico, es conocido por su Manual de Armónicos y su Introducción a la Aritmética. Para probar tan elegante teorema vamos a empezar por significar el miembro izquierdo de la ecuación 1^3+2^3+3^3+…+n^3 = (1+2+3+…+100)^2 Además que suma de bloques formados por cubitos: Hagamos lo próxima, cada uno de estos bloques cúbicos los separaremos por pisos. En los bloques de lado par separaremos a su vez el último piso por la mitad. Con cada uno de estos cubos descompuestos en piezas podemos construir una figura formando un ángulo recto. Y estos ángulos encajan perfectamente cada uno con el próximo formando un cuadrado perfecto. ¿Cuántos cuadraditos tenemos en este tapiz multicolor? Por un lado sabemos que hay 1^3+2^3+3^3+….+n^3 . Pero por otra parte podemos contarlos solamente multiplicando lado por lado de este cuadrado, y dado que el lado tiene 1+2+3+…+n cuadrados, obtenemos que hay un total de (1+2+3+…+100)^2 . ¡Hemos probado el teorema de Nicómaco visualmente!! Pero en vez de tener que idear una demostración ingeniosa para cada caso particular, ¿No existirá una fórmula para la ocación general 1^p+2^p+3^p+….+n^p, para cualquier número natural p? La contestación es afirmativa, Sin embargo eso ya es otra historia del ABCdario de las matemáticas en la que conoceremos a nuevos personajes, el matemático suizo Jakob Bernoulli, el matemático nipón Seki Kōwa, y a la matemática británica Ada Lovelace, ¡pionera de la programación informática! Urtzi Buijs es Profesor Titular del área de Geometría y Topología en la Universidad de Málaga. Miriam González es Desarrolladora de Software en la Universidad de Málaga. Ambos son fundadores del canal de Youtube Archimedes Tube. El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).