Supongamos que introducimos, en una solución jabonosa, un alambre que manera una curva cerrada. Al extraerlo, quizás Más tarde de Múltiples intentos, se formará una película de jabón que tiene al alambre por borde. Existen muchas posibles superficies que poseen a este alambre por borde, Sin embargo, al repetir el proceso vemos que la película de jabón que se obtiene es Siempre y en todo momento exactamente la misma. Por ende, de entre todas las posibles maneras que puede adquirir la película de jabón, ésta adopta Siempre y en toda circunstancia y en todo momento y en todo momento una configuración concreta, que depende únicamente de la forma del alambre. No obstante, ¿qué tiene esta superficie, escogida por el jabón, que la hace preferible a las demás? Resulta que de todas y cada una y cada una de las posibles superficies que poseen por borde al alambre, la forma que adopta la película de jabón es precisamente la que tiene menor área. Esta clase de superficies, las que poseen menor área de entre todas y cada una las delimitadas por una cierta curva, se denominan superficies mínimas y hace tiempo que la comunidad matemática se percató de que pueden ser descritas utilizando la curvatura. En especial, las superficies mínimas son superficies cuya curvatura media vale exactamente cero en todos sus puntos. Sin embargo, ¿qué es esto de la curvatura media? Para poder introducir este concepto, debemos hacer un pequeño viaje En medio una idea importantísima en geometría, la curvatura. Curvatura en curvas (dimensión 1)
La curvatura es un concepto que transmite la idea de cuanto se aleja una curva o una superficie de ser, respectivamente, una recta o bien un plano. Podemos definir la curvatura, (la llamaremos k) de una curva plana C Al igual que una función que a cada punto p de dicha curva le asocia un número real k(p), esto en matemáticas se suele denotar así: Dado un punto p de una curva C, podemos pensar en la circunferencia tangente en ese punto que mejor se ajuste a la curva. La curvatura en p, expresado de otro modo k(p) , se puede interpretar Al idéntico que el inverso del radio de esa circunferencia. Notad que esta idea de curvatura concuerda con nuestra intuición original de que se trate de un valor que mide de qué manera de distinta es nuestra curva respecto de una recta. En los puntos en los que la curva se parezca a una circunferencia de radio grande la curvatura será niña, al paso que en los puntos en los cuales la curva se parezca a una circunferencia pequeña su curvatura va a ser mayor. Con esta idea de curvatura las rectas tienen curvatura nula Porque las interpretamos De esta forma tal como circunferencias de radio infinito… Ok, todo cuadra por el instante. Bien, ya conocemos Como se define la curvatura en cada punto de una curva plana Sin embargo, ¿como definimos la curvatura de una superficie? Ay amigo, aquí se complica el asunto…pero poco. Curvatura en superficies (dimensión 2)
Pensemos en seguida en una superficie M cualquiera y tomemos un punto p de exactamente la misma. Podemos escoger un vector normal n, es decir, que sea perpendicular a parte superficial en ese punto. Digo escoger, por el hecho de que nuestro vector normal puede apuntar cara un lado de parte superficial o bien cara el otro. Este hecho hará que podamos disponer curvaturas positivas y negativas. Tomamos todos los planos que contienen al vector normal, los podemos parametrizar por medio de una dirección alpha, y hacemos su intersección con la superficie M, obteniendo Así para cada dirección alpha una curva plana sobre M que llamaremos C sub alpha. Por consiguiente, para todo punto p de una superficie M y dada una dirección alpha podemos definir la curvatura en esa dirección Así tal como la curvatura C sub alpha de en ese punto p Da lugar a destacar que para una superficie y un determinado punto obtendremos diversos valores de la curvatura Conforme la dirección que tomemos. Los valores máximo y mínimo de estas curvaturas son lo cual se conocen Al parecido que curvaturas primordiales y usualmente se denotan respectivamente Al idéntico que k sub 1 y k sub 2. Estas dos curvaturas serán claves para nuestros propósitos. Ya sabemos Del mismo modo que delimitar la curvatura de una superficie en un punto, en una cierta dirección. Aunque, La meta de una función curvatura es no depender de direcciones Sino más bien ser una función que para cada punto nos de un número real. ¿Y Al idéntico que conseguimos tal función? Hay Varios formas. Vamos a ver dos: la curvatura de Gauss y la curvatura media. Curvatura de Gauss
Una de las curvaturas más conocidas es la curvatura de Gauss, y se define Al parecido que el producto de las curvaturas primordiales, por lo tanto si M es una superficie, su curvatura de Gauss para cada punto viene dada por Esta curvatura nos deja distinguir tres tipos de puntos en una superficie: -Elípticos si K >0. Las dos curvaturas principales tienen exactamente el mismo signo. -Parabólicos si es que K=0. Al menos una de las curvaturas principales es nula. -Hiperbólicos si K < 0. Las dos curvaturas principales tienen distinto signo. Estos últimos se suelen llamar puntos silla por su similar con las sillas de montar de los caballos. Curvatura media
La curvatura media de una superficie, en un Sólo punto de La misma, es el valor medio de la curvatura en todas y cada una sus direcciones. O sea cogemos todas las curvaturas de las curvas planas C
sub alpha que nos figuran en las distintas direcciones y hacemos la media. Por tanto la curvatura media se define Al parecido que ¡Una definición con integrales! Pero no está pasando nada, Puesto que Debido a un genial resultado de Euler podemos describir las curvaturas en las distintas direcciones en concepto de las dos curvaturas primordiales tal que De esta manera, con lo que haciendo esa integral -cuidado que las carga el diablo- obtenemos que la curvatura media se puede acotar equivalentemente De exactamente la misma manera que la media de las dos curvaturas principales. Mucho mejor sin integrales, donde va a frenar. Otra consecuencia del resultado de Euler es que las curvaturas principales son perpendiculares, yo lo dejo caer Al idéntico que que no quiere la cosa. En conclusión, dada una superficie , su curvatura media viene dada por Superficies con curvatura media nula
Habíamos aventurado, al inicio del artículo, que las superficies minimales se pueden describir De exactamente la misma forma que aquellas que tienen curvatura media nula en todos sus puntos, o bien sea H=0, en todos y cada uno de los puntos de parte superficial. Una primera consecuencia de este hecho es que en las superficies minimales se satisface que las curvatura principales son opuestas, es decir, por lo cual la curvatura de Gauss en todos sus puntos será, o lo que es lo mismo la curvatura de Gauss de una superficie mínima no puede ser positiva. ¡Atención, atención! pues esto último implica que en una superficie mínima todos sus puntos son puntos silla (si es que k sub 1 es no nulo) o bien es una superficie plana (si es que k_1 es nulo). Fíjate que maravilloso resultado acabamos de alcanzar sin más que aplicar las definiciones de curvatura media y de Gauss. Ejemplos en la vida cotidiana
Desde un punto de vista más práctico, la superficies mínimas han sido muy utilizadas en varias y diferentes sectores de la industria. En tanto que minimizan el área, su manipulación puede generar importantes reducciones de gastos y por ello no es nada extraño descubrir ejemplos de estas superficies en la jornada a jornada, De La misma manera que por ejemplo en ciertos géneros de patatas o bien en las torres de refrigeración de las centrales nucleares. Para lograr nuestros propios ejemplos de superficies mínimas basta coger un alambre cerrado, (o bien Varios), al que daremos distintas maneras, sumergirlo en una solución jabonosa y extraerlo con cuidado. En mi caso cogí una percha a la que no debía mucho aprecio y un cubo de agua con bastante jabón. Fui dando distintas formas a la percha, lo cual Me originó diversos superficies mínimas. Te animo a hacer la demuestra en casa, lo pondrás todo perdido, sí, No obstante conseguirás superficies muy chulas y podrás comprobar que, en efecto, todos sus puntos son puntos silla a no ser que se trate de una superficie plana. Víctor M. Manero es maestro de la Universidad de Zaragoza y miembro de la comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la comisión de divulgación de la RSME.