La sección de El Tiempo ocupa una comunicado destacada en los telediarios de todas y cada una y cada una de las cadenas. Esta sección, Además de informarnos de la meteorología de el jornada, nos ha ayudado a entender conceptos De La misma manera que la probabilidad de lluvia o bien la imposibilidad de saber un lunes si es que el domingo podremos ir a la playa. En la situación de las epidemias, otro fenómeno verdaderamente difícil de explicar, la inseguridad de en qué momento llegará (o llegó) el pico y cuánta gente va a ingresar en el centro médico la semana procedente invita a usar una pluralidad de modelos matemáticos llamados cadenas de Márkov. En nuestro fin de acercar a la sociedad Los instrumentos matemáticos que nos ayudan a enfrentar la actual pandemia, nos hacemos eco de la figura de un matemático excepcional, Andréi Andréyevich Márkov, el inventor de las cadenas que llevan su nombre. Estudios e inicios en la probabilidad
Márkov nació en Riazán, Rusia, el 14 de junio de 1856. Su padre, hijo de un diácono rural, estudió en un seminario, consiguiendo más tarde un empleo en el Departamento Forestal en San Petersburgo. Andréi era el mayor de Ambos hijos varones en una familia numerosa. Su hermano menor, Vladimir, muerto prematuramente de tuberculosis, había conseguido en un Sólo corto espacio de vida una enorme reputación De esta manera tal como buen matemático. El primogénito era un niño con una salud delicada que llevó muletas hasta los diez años No obstante, ya en la secundaria resaltó en Matemáticas, llamando la atención de sus profesores. Era obvio que Márkov iba a estudiar esta materia y De este modo lo hizo en la prestigiosa facultad de Física y Matemáticas de la Universidad de San Petersburgo. Allá había recibido una ferviente influencia del brillante matemático Pafnuty Lvovich Chebyshev (Okátovo 1821 – San Petersburgo 1894). Márkov se graduó en 1878 y empezó su trabajo de máster sobre teoría de números (aproximación racional), una tesis que fue muy alabada y considerada uno de los mejores tratados acerca de el asunto en esa temporada. Esto le permitió permanecer su carrera De exactamente la misma forma que profesor de la universidad y lograr el doctorado en 1884. Un par de años después, se convirtió en adjunto de la Academia de Ciencias de San Petersburgo a propuesta de Chebyshev, No obstante siguió manteniendo su vinculación con la universidad. Se dirigió en 1900 en la fecha Márkov arrancó a interesarse por la teoría de probabilidad, tema en el que recibió resultados muy brillantes, incluido el descubrimiento de las cadenas que llevan su nombre. Chebyshev, Kolmogorov y Márkov son los grandes nombres que usaron elementos de la teoría de la medida para convertir la teoría de probabilidad en una de las áreas más rigurosas y respetadas de las matemáticas. Márkov no trabajó pensando en las posibles aplicaciones prácticas de las cadenas que reveló. En verdad, la única área donde las empleó viajó en la literatura, contando vocales y consonantes, seguramente por su gran amor a la poesía. No obstante, Al igual que mostraremos ahora, las aplicaciones de las cadenas de Márkov son de enorme utilidad práctica. Las cadenas de Márkov
De manera intuitiva, una cadena de Márkov en tiempo discreto (por sencillez) es un proceso estocástico que evoluciona en tiempo discreto o etapas y tiene la propiedad markoviana que dice: “el futuro depende de lo cual pasa en el presente, No obstante no del pasado estricto”. De este modo, tendremos unos estados E₁, E₂, E₃,… de forma que se está pasando de uno a otro por una matriz de transición en una etapa. La cardinalidad (número de elementos) del grupo de estados es numerable, o bien sea, es un grupo finito o bien con La misma cardinalidad que los números naturales. La matriz de transición en cada etapa tiene Tal como elementos a las probabilidades de paso de un estado a otro Cuando el proceso evoluciona A partir de una etapa n a la etapa próxima n+1. Por consiguiente, está compuesta de números reales positivos entre 0 y 1, de forma que el monto de cada fila o columna, Según la disposición de los estados inicial (en la etapa n) y permanente (en la etapa n+1), es 1. Aplicación en medicina
El próxima es un ejemplo muy sencillo. En una unidad de cuidados intensivos, los pacientes se clasifican (triage) atendiendo a su estado: crítico, serio y estable. Cada jornada se actualizan las clasificaciones de pacto con la evolución histórica de los pacientes admitidos en la unidad hasta ese momento, de modo que las frecuencias relativas de cambios de estado de un paciente son: En la disposición precedente, las entradas por filas están asociadas al estado del paciente en el día n y las columnas se refieren a su estado en el día n+1. Luego, podríamos tomar Del mismo modo que matriz de transición en una etapa: Las filas suman 1. Una representación gráfica Al igual que la proxima nos puede ayudar a comprender mejor la activa de cambio entre estados de un paciente en dos días consecutivos: Con un gráfico Del mismo modo que este podemos calcular probabilidades en más de una etapa. Por poner un ejemplo, la probabilidad de pasar del estado crítico C a estable Y Además en dos días. Hay tres posibles caminos, dependiendo del estado C, S y E del paciente entonces del primer día: C –> C –> Y Asimismo C –> S –> E C –> Y Asimismo –> E Solo debemos multiplicar las probabilidades y incluir de la forma: 0,6 × 0,1 + 0,3 × 0,2 + 0,1 × 0,5 = 0,17 O BIEN sea, un paciente ingresado en estado crítico C evolucionará al estado estable Y De la misma forma en dos días en un Sólo 17 % de las oportunidades. Obviamente, estas probabilidades pueden cambiar Conforme figuran nuevos tratamientos, o podrían definirse distintos estados de la cadena atendiendo a la edad del paciente, etc. Todas estas generalizaciones enriquecerían la cadena de Márkov, No obstante la idea general seguiría siendo exactamente la misma. Compromiso político y social
Márkov era una persona comprometida políticamente en una temporada, inicios del siglo XX, de transición agitada de Rusia. Por servirnos de un ejemplo, en la fecha a Maksim Gorky se le retiró su nombramiento De exactamente la misma manera que académico de la Academia de Ciencias por razones políticas, protestó enérgicamente. En 1913, el matemático se negó a secundar la fiesta del 3er centenario del zarismo para celebrar, por su cuenta, el 2do aniversario de la Ley de los Grandes Números. Una vez que triunfó la Revolución Rusa de 1917, Márkov pidió que le enviaran a un pequeño pueblo del interior, Zaraisk, a enseñar en el colegio local de forma gratuita y En este sentido participar a la mejora de la pobre sociedad rural. Aquejado de graves incidentes de salud, este brillante matemático ruso falleció en San Petersburgo el 20 de julio de 1922. Murió a los 66 años de edad Debido a la infección generalizada producida por una de las varias operaciones quirúrgicas de rodilla a las que se dirigió sometido. Manuel de León Rodríguez es Maestro de Investigación del CSIC, Real Academia de Ciencias, Colegio de Ciencias Matemáticas (ICMAT-CSIC) Antonio Gómez Corral es Maestro del Departamento de Estadística y Además Investigación Operativa, Universidad Complutense de La villa de Madrid Mario Castro Ponce es Profesor y También Investigador en el colegio Técnica Superior de Ingeniería (ICAI), Universidad Pontificia Comillas Una versión de este artículo se dirigió publicada originalmente en el blog Matemáticas y sus fronteras, de la Fundación para el Conocimiento madrid+d. Asimismo otra versión se halla publicada en The Conversation. <img src=”https://counter.theconversation.com/content/138986/count.gif?distributor=republish-lightbox-advanced” alt=”The Conversation” width=”1″ height=”1″ style=”border: none !important; box-shadow: none !important; margin: 0 !important; max-height: 1px !important; max-width: 1px !important; min-height: 1px !important; min-width: 1px !important; opacity: 0 !important; outline: none !important; padding: 0 !important; text-shadow: none !important” />