«Si queréis decir a alguna persona que le queréis para Siempre y en toda circunstancia y en toda circunstancia y en todo momento, regaladle un diamante, Sin embargo si es que le queréis decir que le queréis para Siempre y en todo momento y en todo momento y en toda circunstancia siempre y en toda circunstancia y en todo momento, regaladle un teorema, eso si…, lo tendréis que demostrar, que vuestro amor no se quede en conjetura». Con este precioso consejo concluía su diálogo TED ‘Las matemáticas son para siempre’ el excelente matemático y divulgador
Eduardo Sáenz de Cabezón. Y es que es verdad, las personas que nos dedicamos a las matemáticas le damos un valor gran a esas verdades inmutables y eternas conocidas Del mismo modo que teoremas. Eso sí, pagamos un alto precio por ellas y es que las debemos demostrar. No obstante, ¿qué es una demostración? Según la RAE existen Múltiples acepciones para el término demostración entre las cuales destacan las siguientes: – Prueba de algo, partiendo de verdades universales y evidentes. – Comprobación, por sucesos algunos o experimentos repetidos, de un principio o de una teoría. – Objetivo y término del tratamiento deductivo. Nos encontramos ya con tres términos de suma importancia para entender la demostración: demuestra, comprobación y procedimiento deductivo. Sin embargo, si pensamos en la situación especial de las matemáticas, ¿qué entendemos por demostración matemática? Según Scheinerman (2001) «En matemáticas, una demostración o bien bien una prueba es un argumento deductivo para garantizar la verdad de una proposición matemática. En la argumentación se pueden usar otras afirmaciones previamente establecidas, semejantes Tal y como teoremas o bien bien las afirmaciones iniciales o axiomas». Cabe resaltar que al hablar de demostración matemática la idea de comprobación desaparece, por el hecho de que Si bien puede ser muy útil comprobar que algo se cumple en uno o Varios casos, esto no constituye una demuestra de que sea cierto Por lo general. Demostrar versus comprobar
Por ejemplo, puedo comprobar que: un número Q de la manera donde n es un número natural, es Siempre y en todo momento y en todo momento primo. Basta ver lo que ocurre con n = 1, 2, 3, 4 para cuyos valores se obtienen, respectivamente, Q = 5, 17, 257, 65537 que son todos primos. Aunque, A pesar de que esta comprobación nos lleve a pensar que la afirmación es cierta Generalmente, resulta que no es Así y para comprobar la falsedad de La misma no hace falta más que tomar n = 5 por lo cual obtenemos Q = 4294967297 el cual no es primo ya se puede descomponer De esta manera tal como producto de 671 y 6700417. Podemos colocar ejemplos todavía más peliagudos Del mismo modo que que: todo número par es suma de dos números primos. Se puede comprobar que esto es cierto para muchos, muchos, muchos casos 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 5 + 5; … 1000 = 443 + 557 Es más, a día de Hoy no se conoce ningún caso en el que no se cumpla, Sin embargo el hecho de que esta afirmación se satisfaga en todos y cada uno de los casos comprobados no constituye una demostración matemática. Por ello este resultado sigue siendo una mera conjetura, famosa Del mismo modo que conjetura de Goldbach, en honor al matemático que la enunció ya hace más de 250 años. ¡Y prosigue sin ser demostrada! Fragmento de una carta de Golbach a Euler con el enunciado de su famosa conjetura.Así que hasta que alguien consiga probar la veracidad de este resultado éste no adquirirá el rango eterno de teorema. Pero, la pregunta que surge de forma natural es la siguiente: ¿cómo podemos vivenciar que algo se cumple para todos y cada uno de los números pares?, o mejor Aún ¿cómo podemos vivenciar que algo se cumple para todos y cada uno de los números naturales? Si lo hiciéramos comprobando caso a caso no acabaríamos jamás Porque hay, literalmente, infinitos casos que verificar. Esto podría llevarnos a pensar que demostrar algo para un conjunto infinito de números es un problema irresoluble, ¿o no? Inducción matemática, ese arma potentísima Efecto dominóLa inducción matemática es una técnica de demostración que deja sentir propiedades que son Algunas para el conjunto de los números naturales. El principio sobre el que se sustenta esta técnica es sencillo, Ya que se basa en el efecto dominó, ese que hace que al empujar la 1era pieza de un dominó las demás vayan cayendo detrás. Si es que tengo una cierta propiedad, llamémosla P(n), que quiero ver si es que se cumple o no para todos y cada uno de los números naturales n, lo que debo hacer es lo siguiente: A. Primero compruebo si se satisface para algún numero concreto, Por lo general se U.S.A. n = 1. B. Después, suponiendo que la propiedad se cumple para un número genérico k (esto se conoce Al idéntico que hipótesis de inducción) tenemos que experimentar que se cumple para el siguiente, dicho de otro modo, para k+1. Y si es que conseguimos hacer estos dos pasos ya hemos probado que la propiedad P(n) se satisface para todos los números naturales, y Cuando digo todos, Me refiero a todos, todos, todos. He aquí la explicación: Teniendo presente la condición A sabemos que la propiedad se cumple para n=1 (equivalentemente P(1) es cierta) y en seguida usando B sabemos que si se cumple P(1) se cumple P(2). Volviendo a aplicar B sabemos que si P(2) es cierta P(3) Asimismo lo es. Conocido que P(3) es cierta, sin más que aplicar B nuevamente tenemos que P(4) Además es cierta. Así usando sucesivamente B se obtiene que la propiedad se cumple para todos y cada uno de los números naturales. Ejemplo de uso
Pensemos en La siguiente propiedad P(n): un número de la forma donde n es un número natural, es Siempre y en todo momento y en todo momento múltiplo de 3. ¿Será cierto? Apliquemos la inducción matemática: A. P(1) es cierta Porque 1 7 + 9 = 3 que efectivamente es múltiplo de 3. B. Suponiendo que P(k) es cierta veamos que P(k+1) es cierta. Esto ultimo es equivalente a probar que es múltiplo de 3 suponiendo que es múltiplo de 3. Desarrollando los paréntesis vemos que es idéntico a que agrupando adecuadamente es idéntico a con lo que donde es múltiplo de 3 por hipótesis de inducción y De la misma forma lo es por razones obvias, lo que permite finalizar que es múltiplo de 3 o lo que es lo mismo, que P(k+1) es cierta. Esto termina la demostración de la parte B, que junto con A nos permite asegurar que efectivamente, si n es un número natural cualquiera, todo número de la forma es múltiplo de 3. Y De esta forma es De La misma manera que se consigue, en unas pocas líneas, demostrar que una propiedad es cierta para un número infinito de casos. Víctor M. Manero es profesor de la Universidad de Zaragoza y miembro de la comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.