Probablemente alguien recuerde la serie que hace ciertos años emitieron Ciertas cadenas de televisión: ‘Numb3rs’. En ella un conjunto de especialistas del FBI acudían al hermano de uno de los protagonistas, Charlie Eppes, que era matemático, y que, sin entender nada de lo cual les explicaba ni escribía, eran capaces de solucionar a mayoría de los delitos que se les presentaban. Después de la curiosidad de los primeros capítulos, en nuestro país se emitieron las seis temporadas que al terminante se realizaron (119 episodios), No obstante pasó sin pena ni gloria. Desde un punto de vista crítico hay razones suficientes para comprender su progresivo desinterés, Pero no es el asunto del que Deseamos tratar aquí. En su nación de origen, el ‘National Council of Teachers of Mathematics’ (NCTM) en colaboración con la productora CBS y la compañía Texas Instruments, realizaron una iniciativa educativa interesante, el programa ‘We all use Math Everyday’ (Todos utilizamos Matemáticas todos y cada uno de los días). Consistía en tratar de mostrar a Estudiantes y padres la importancia que las matemáticas tienen en nuestra vida cotidiana A lo largo de materiales (guiones de prácticas y ejercicios, proyecciones de episodios de la serie Ya antes de ser emitidos, calculadoras, etc.) que se facilitaban a los centros educativos que se adscribían a la iniciativa. Estaban orientadas a Estudiantes de 12 a 18 años. Cada actividad se centraba en un Solo tema concreto, relacionado con los capítulos de la serie, con unos objetivos, cuestiones, planificación y demás detalles muy bien razonados y detallados. Entre los asuntos tratados estaban las probabilidades, interpolación, números primos, teoría del caos, diagramas de Voronoi, fracciones continuas, teoría de la datos, entropía, criptografía, teoría de juegos, etc. Un amplio recorrido por las matemáticas y sus aplicaciones prácticas. A lo largo de un tiempo (Del mismo modo que Siempre y en toda circunstancia y en todo momento y en toda circunstancia la novedad) tuvo cierta aceptación y éxito. La verdad es que Antes de ver los episodios hubiera hecho falta a cualquiera algo igual, pues quien vea la serie, o un Solo capítulo, se da cuenta de manera rápida de que, Pese a sus buenas intenciones, presenta el trabajo de los matemáticos Como algo inextricable, prácticamente esotérico, en el que el matemático Charlie, conocido el problema, al analizarlo, parecía entrar en una especie de éxtasis nervioso, llenando papeles y pizarras con fórmulas incomprensibles (por cierto, se cuidaron de que toda expresión matemática fuera correcta, cosa que no hacen en muchas series y películas; los guiones estuvieron muy bien asesorada por consultores matemáticos de 1er orden). Y entonces la explicación a sus compañeros de los conceptos en los cuales se basaba es tan rápida que ni a los cuales sabemos de lo cual van nos está dando tiempo a enterarnos más que de pequeños detalles. La ocación es que, quien haya tenido alguna relación con un matemático real, va a contar probablemente una sensación muy diferente: hay que tomarse un tiempo adecuado para entender el problema, pensar tranquilamente de qué forma abordarlo, y al cabo de un tiempo (días, meses, en el mejor de los casos), meter el lápiz con cuidado a ver qué sale (vale, exagero un poco, Sin embargo poco). Todo este preámbulo viene a cuento Porque quiero ‘tomar prestado’ alguno de los inconvenientes planteados en la serie para describir una herramienta ampliamente utilizada en diferentes situaciones: las cadenas de Markov. De esta manera, aparte de entender su utilidad y alcance, si vuelven a ver el episodio, se enteran de algo más que si se hace sin más. En algún artículo previo ya hemos hablado de situaciones que se describen Desde otra precedente, o bien de otras dos precedentes. Por ejemplo, el famoso modelo de la descendencia de los conejos procedente descrita por la sucesión de Fibonacci: en la que, para calcular un término, necesitamos conocer cuánto valen Ambos anteriores. Ese tipo de sucesiones, que Siempre y en todo momento y en toda circunstancia obedecen a una misma regla invariable y dependen de situaciones precedentes se denominan ecuaciones recurrentes. Esta idea De la misma forma aparece en fenómenos que poseen que ver con la probabilidad. En el momento en que la probabilidad de que ocurra un evento depende simplemente del acontecimiento inmediatamente precedente, afirmamos que cumple la propiedad de Markov, y matemáticamente se trabaja con ella A través de las llamadas cadenas de Markov. Una manera coloquial de describir esa característica es que “el futuro es independiente del pasado en presencia del presente”. Ahora lo suyo sería dar las definiciones rigurosas, demostrar Algunas propiedades, etc., Sin embargo entonces estaríamos haciendo lo que los libros de texto, y ustedes dejarían de leer, de modo que optaré por describir un ejemplo sencillo para entender la idea. Las cadenas de Markov modelizan muchas situaciones de la vida rutinaria (entonces diremos Algunas), No obstante una de las más sencillas es la predicción del tiempo, que consultamos cada vez más para ver si salgo de excursión, tengo que coger un paraguas o bien si es que puedo colocar la lavadora a fin de que la colada se A mí me seque bien y no coja olor pues está húmeda todo el día. ¿Lloverá o bien estará despejado? Una vez que se tienen que manejar muchos datos, todo el mundo sabe que lo más práctico es disponerlos en manera de tabla. Los datos de esas tablas pueden acomodarse en una matriz. Las matrices son uno de Los instrumentos más útiles para trabajar con data. Una matriz no es más que una disposición en filas y columnas de datos: Cada detalle (cada elemento, decimos en matemáticas) viene perfectamente identificado por dos subíndices. El primero indica la fila en la que se halla, y el segundo la columna. Así el elemento a_23 se halla en la 2da fila 3era columna. Supongamos que el pronóstico del tiempo en una determinada población se describe Del mismo modo que lluvia (LL) o no lluvia (NLL). La probabilidad de que llueva mañana va a depender del tiempo que va a hacer Hoy. Conocido el tiempo de El día de hoy, el de mañana puede ser estimado de pacto a unas probabilidades. Supongamos que nos dan la proxima información: Vamos a hacer una interpretación de esa tabla. Comencemos por el lado izquierdo (donde pone Hoy). Esa tabla nos afirma que si es que Hoy lloviera (LL), la probabilidad de que lo haga mañana es de 0.2. Obviamente, Al parecido que Solo consideramos dos situaciones, la probabilidad de que no llueva entonces es de 0.8, Porque la suma de probabilidades de todos los eventos tiene que ser la unidad. Otro modo de leer la tabla es fijarse en (fila uno, columna uno) que significa (llueve El jornada de hoy, llueve mañana): 0.2, que indicaría la probabilidad de que llueva mañana sabiendo que llueve Hoy. Es decir, una probabilidad condicionada. Y Asimismo igual con el resto de ‘casillas’. Esa tabla tendría asociada matemáticamente una matriz: Este tipo de matrices, en el que todos sus elementos son cero o bien positivos y el monto de las filas es la unidad se denominan matrices de probabilidades de transición, o matrices de probabilidad o bien matrices estocásticas. Veamos qué data adicional nos pueden aportar. Supongamos que El jornada de hoy es lunes y llueve. ¿Podemos estimar la probabilidad de que no llueva el miércoles? Si uno intenta solucionar la cuestión A través de un razonamiento “directo”, escribiría las cuatro combinaciones de tiempo que puede hacer para los tres días, lunes, martes y miércoles: LL – LL – LL LL – LL – NLL LL – NLL – LL LL – NLL – NLL Solo dos de las combinaciones presentan lluvia en lunes y no lluvia el miércoles (las marcadas en color rojo). Del mismo modo que el tiempo de día Tras jornada se considera un acontecimiento independiente, para descubrir la probabilidad de cada combinación, basta con multiplicar las probabilidades de cada combinación. Recordemos que sabemos con seguridad que el lunes llueve, con lo que la probabilidad de que llueva en lunes es 1: p(LL – LL – NLL) = 1 x 0.2 x 0.8 = 0.16 p(LL – NLL – NLL) = 1 x 0.8 x 0.7 = 0.56 Para concluir, Del mismo modo que llover y no llover son hechos mutuamente excluyentes (en otros términos, no se puede llover y no llover a la vez), sumamos ambas probabilidades: p(LL – LL – NLL o bien LL – NLL – NLL) = 0.16 + 0.56 = 0.72 Este razonamiento, más o menos elaborado, es inmediato utilizando el producto de matrices (Recuérdese de qué forma se multiplican matrices: elementos de la primera fila por los de la primera columna para determinar el 1er elemento de la matriz producto, elementos de la primera fila por la 2da columna para el segundo, etc.; tal y De exactamente la misma forma que se describe en el ejemplo): De esta manera, Sencillamente, hemos calculado varias posibilidades, no Sólo la de la problemática, que es la de la 1era fila segunda columna de la matriz producto, Del mismo modo que pueden comprobar, 0.72. Observen a su vez que la matriz resultante continúa siendo una matriz estocástica, pues todas y cada una sus entradas son positivas y el monto de cada fila es la unidad. ¿A qué respondería la matriz A^3 y sucesivas? Aplicaciones de los procesos de Markov
Además de la meteorología, las cadenas de Markov son utilizadas en contextos muy diversos. En epidemiologia (desgraciadamente tan de actualidad), la modelización matemática del crecimiento de una epidemia utiliza cadenas de Markov (proceso de Galton-Watson). Por supuesto en el estudio de juegos de azar, particularmente, en la modelización de la ruina del Jugador (análisis de la probabilidad de que una persona que apuesta en un juego de azar Por ultimo termine sin dinero; inevitable a largo plazo, ya les adelanto). En genética se utilizan para describir el repuesto de frecuencias génicas en una población chiquita con generaciones discretas sometida a deriva genética. Múltiples algoritmos de composición musical utilizan cadenas de Markov (en Analoguique A et B del compositor Iannis Xenakis, por citar un ejemplo, o en el software Csound). La improvisación en el jazz puede modelizarse Durante esta herramienta matemática (vean este documento si es que tienen interés). El algoritmo Pagerank que utiliza Google en sus búsquedas se define Mediante una cadena de Markov. En economía, los procesos de colapso de valores o la determinación de la volatilidad de los costes. En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para examinar el reemplazo de Plantel. En lingüística, en el análisis de la probabilidad de que una letra vaya ahora de otra. Es de España, por ejemplo, es más probable que haya una u ahora de una q, a que una j siga a una b. Esto se aplica al cifrado y descifrado de textos en criptografía, o a la clarificación de párrafos borrados o ilegibles en manuscritos antiguos o bien de ocultación de data en documentos para causas judiciales. Podríamos finalizar páginas con los usos y aplicaciones de las cadenas de Markov. Un caso particular muy útil de cadenas de Markov son los modelos ocultos de Markov (abreviadamente HMM por sus siglas en inglés, Hidden Markov Model). Se aplica a situaciones en las que se presupone que el sistema a modelizar es un proceso de Markov con parámetros desconocidos. El propósito precisamente es determinar esos parámetros desconocidos Desde aquellos observables. Se utilizan específicamente en el reconocimiento de patrones temporales, Del mismo modo que el de voz para descifrar frases de grabaciones difusas, o bien en el descifrado de caracteres en textos poco legibles, o bien en traducción automática, o bien en el análisis de secuencias biológicas, particularmente de ADN, entre otras aplicaciones. Es el modelo al que alude Charles Eppes, por completar con el ejemplo que se comentó al inicio, en el decimocuarto episodio de la 2da temporada de Numb3rs, titulado Cosecha (Harvest). En expresado capítulo una adolescente asiática es localizada en un sótano de un hotel abandonado con evidentes signos de haber sido torturada. La investigación revelará que en realidad la chica, y otras tres mujeres desaparecidas, han sido víctimas de la extracción de órganos para su posterior venta y tráfico ilegal. El protagonista matemático intentará identificar los posibles destinos de esos órganos estudiando las desconocidas rutas de las ambulancias sospechosas de trasladarlos. Indica a sus compañeros que va a emplear cadenas ocultas de Markov para ubicar qué ambulancias están cometiendo ese delito. La historia detrás de Markov, el matemático El matemático ruso Andréi Andréyevich Markov (1856 – 1922) enfatizó por sus trabajos en teoría de números (fracciones continuas), Pero acerca de todo en teoría de probabilidades. Simplemente terminar sus estudios, ingresó en la Universidad de San Petersburgo De La misma manera que maestro, siendo discípulo de Pafnuti Chebyshev. En 1887 completó la demostración que permitía generalizar el teorema central del límite, que ya había descrito el propio Chebyshev. Tras 25 años de tarea académica se retiró de la universidad, dedicándose exclusivamente a impartir cursos acerca de teoría de probabilidades. En su vida personal, Markov se dirigió un comprometido activista burócrata opuesto a los privilegios del régimen zarista, llegando a rechazar condecoraciones que le otorgaron Como protesta. Murió De La misma manera que consecuencia de una infección Después de una de las muchas operaciones de rodilla que soportó Del mismo modo que consecuencia de las dolencias que le provocaba una malformación congénita de dicha rodilla. Respecto a los modelos ocultos de Markov, acudieron descritos por 1era vez en una serie de artículos sobre Estadística de Leonard E. Baum y otros autores en la 2da mitad de la década de 1960. En reconocimiento del habla, se Comenzaron a aplicar en la mitad de la década de 1970, y en análisis de ADN a mediados de la década de 1980. La serie ‘Numb3rs’, aparte de mostrar aplicaciones reales de las matemáticas, pretendía mitigar esa negativa imagen que muchos espectadores pudieran poseer por una mala experiencia escolar. Al menos Durante sus tres primeras temporadas, tuvo en Norteamérica bastante victoria, Pero las servidumbres de las audiencias fueron lastrando sus buenas intenciones con más acción policial en detrimento de las descripciones pausadas de las herramientas matemáticas. En cuanto al despertar de nuevas vocaciones matemáticas (De exactamente la misma manera que sí hicieron otras series en disciplinas De la misma forma que la medicina forense, la astronomía o el derecho) no parece que tuviera mucho alcance. Bromeando entre colegas, lo que podría motivar, más que hacerse matemático, es el de tratar de convencer a algún hermano a fin de que se haga matemático y a continuación poder consultarle. Alfonso Jesús Población Sáez es maestro de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.