En 430 a.C., un año Antes de la muerte de Pericles, se desató en Atenas una epidemia de peste que diezmó a la 4ta comunicado de su población. Cuenta la leyenda que los atenienses, desesperados, enviaron una delegación al oráculo de Apolo en Delos para averiguar de qué manera podían combatir la terrible enfermedad. El oráculo les respondió que debían contentar al dios construyéndole un altar de exactamente la misma manera que el original, que era cúbico, No obstante de doble cantidad que éste. A tal capricho del dios Febo se le conoce De exactamente la misma manera que Problema de Delos o bien Problema de la duplicación del cubo y es uno de los llamados tres incidentes griegos o bien tres inconvenientes clásicos; los otros dos son la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo y los tres acapararon la atención de los más eminentes matemáticos griegos, tanto en el periodo clásico Del mismo modo que en el helenístico. La condición que se impuso para resolverlos es emplear tan Solo una regla sin marcar y un compás. El descubrimiento de los inconmensurables (en otros términos, de los números irracionales) a finales del siglo VI a.C. se atribuye al pitagórico Hipaso de Metaponto y ha puesto de manifiesto la existencia de magnitudes que no son una razón entre números naturales, Aunque Algunas de estas se pueden construir con regla y compás, Al semejante que el caso de la diagonal de un cuadrado o bien la bisectriz de un ángulo. De acá el interés de estos incidentes en la Grecia clásica. Pero De esta forma tal como se demostró veinte siglos entonces, ninguno de los tres incidentes griegos tiene solución en los términos originales y A pesar de ello, Del mismo modo que a menudo sucede en matemáticas, los Múltiples intentos y aproximaciones movieron un vastísimo caudal de investigación de cuyas fértiles corrientes emergerían nuevas áreas que habrían de jugar papeles de 1er mandato en siglos venideros, De este modo tal como por ejemplo la teoría de curvas algebraicas, de enorme relevancia en la vigente teoría de números, criptografía y teoría de códigos, o la teoría de las cónicas, nuclear en los resultados de Copérnico y Kepler. La duplicación del cubo
Comencemos con el problema de Delos. La fuente más antigua en la que se menciona es una carta de Eratóstenes (275-194 a.C.) a un tal Ptolomeo (posiblemente Ptolomeo III) Si es que bien el compendio más completo sobre las diversas contribuciones a su Decisión es un comentario de Eutocio, ya en el S. V d.C., al tratado Acerca de la esfera y el cilindro, de Arquímedes. Conviene observar que el análogo de este problema en dimensión dos, en otros términos, la duplicación del cuadrado, sí es resoluble usando tan Solo regla y compás: dado un cuadrado de área A, su lado medirá raíz cuadrada(A), y para duplicar su área es suficiente construír un segmento de longitud raíz cuadrada(2A), que es precisamente la longitud de la diagonal, en virtud del Teorema de Pitágoras. Posiblemente la aproximación más antigua sea la de Hipócrates de Quíos (no confundir con Hipócrates de Cos, el celebrado médico), quien redujo el problema a encontrar dos medias proporcionales: De esta manera, dado un cubo de arista a y volumen a^3, para detectar un segmento de longitud x tal que basta descubrir dos segmentos, de longitud x e y semejantes que pues en ese caso se tendrá que Conforme hemos mencionado, Tal y como producto colateral al estudio de este problema se introdujo la teoría de cónicas. El cantautor de este enfoque se dirigió Menecmo (375-325 a.C.), que Del mismo modo que Hipócrates, había reducido el problema a dos medias proporcionales. Aunque, Menecmo se dio cuenta de que este sistema de medias proporcionales es equivalente a detectar el punto de corte de dos parábolas: Efectivamente, estas parábolas se cortan en el punto Figura 1: solución de Menecmo a la duplicación del cubo (a = 1).También Eratóstenes se había acercado al problema ideando un dispositivo mecánico, el mesolabio, consistente en un rectángulo rígido ABXY y tres rectángulos congruentes ABFM, NGHQ y RKJT. El rectángulo ABFM es Además rígido y los otros dos se pueden desplazar. Si es que el lado AB del rectángulo fijo se toma Tal y como 2a, aplicando Varios veces el Teorema de Thales se construye un segmento de longitud a raíz cúbica de 2: Figura 3: mesolabio de Eratóstenes.Primero trazamos las diagonales AF, NH y BJ. Llamamos Y También al punto medio de TJ, de modo que la medida de EJ es a. En seguida, desplazamos el 2do rectángulo hasta que NH intersecte al lado MF del 1er rectángulo, llamando C al punto de corte. Simultáneamente, desplazamos el 3er rectángulo hasta que RJ intersecte a QH, llamando D al nuevo punto de corte. Para concluir, desplazamos el 2do y el tercer rectángulos hasta el instante en que los puntos A, C, D y Y También estén alineados. Llamamos O al punto de intersección de AE y BX. Figura 4: uso del mesolabio.Mediante el teorema de Thales, tenemos: La trisección del ángulo
Consiste en, dado un ángulo, construir otro cuya medida sea la 3era comunicado de la medida del primero usando tan Solo regla y compás. El origen de este problema es incierto Aunque en todo caso es con seguridad precedente a 399 a.C., fecha de la muerte de Hipias de Elis, quien realizó la aportación tentativa más temprana famosa a su Decisión. A cualquiera que haya seguido un curso básico de Historia de la Filosofía le sonará La denominación de Hipias Tal y como uno de los sofistas que pululaban por la Atenas de los Treinta Tiranos ofreciendo al mejor postor su arte de hacer pasar lo malo por bueno. Se dice de él que poseía una memoria prodigiosa y que era el más rico de todos sus colegas de oficio, y Además uno de los más presuntuosos. Su figura da nombre a dos de los diálogos Platón (Hipias mayor e Hipias menor), donde entre otras cosas se traza una semblanza de este curioso personaje. No obstante de todos sus sofismas, el que nos interesa acá es el llevado a cabo para tratar de solucionar el problema de la trisección y quizá de la cuadratura, Porque De este modo tal como se verá posteriormente, más adelante se aprovecharía la contribución del de Elis para tal objetivo. Se trata de la trisectriz o bien cuadratriz de Hipias, el 1er ejemplo conocido de una curva plana no circular. Esta curva se define dinámicamente de la proxima manera: Supongamos un cuadrado de vértices A, B, O BIEN y C. Imaginemos que el segmento AB se desplaza paralelamente hacia abajo hasta solaparse con el segmento OC y ello con velocidad constante. Imaginemos Además que a esa misma velocidad se va rotando el segmento OA en sentido de las agujas del reloj hasta que este se superpone igualmente a OC. Entonces, en cada momento, Los dos segmentos (el paralelo a AB, que en la figura es A1B1 y la rotación de OA, que es OP’) se cortarán en un Solo punto P. Por el hecho de que bien, el lugar geométrico de todos estos puntos de corte a medida que se mueven estos dos segmentos Según avanza el tiempo es la curva de Hipias. Figura 2: trisectriz de Hipias.Esta curva resuelve el problema de la trisección: dado el ángulo OP’C delimitado por los segmentos OP’ y OC, consideremos el punto P de corte del segmento OP’ con la trisectriz. Dibujamos el segmento A1C, que corta a BC en B1 y dividimos el segmento CB1 en tres partes iguales. Sea una de ellas el segmento CG. Construimos el segmento FG que corta a la trisectriz en el punto U y De este modo, por de qué forma se define la trisectriz, el ángulo OUS mide la 3era una parte del ángulo de partida. La cuadratura del círculo
En este caso Versa de, dado un círculo de radio R (y por ende de área πR^2), construir un cuadrado del mismo área empleando, Como anteriormente, Solo regla y compás. Por medio de el teorema de Thales se prueba que es equivalente a cuadrar el círculo de radio R = 1. Si hemos de creer a Plutarco, el filósofo Anaxágoras (500-428 a.C.) se encargó de este problema A lo largo de su estancia en prisión a consecuencia de la caída en desgracia de Pericles, su discípulo y amigo. Pero Hipócrates de Quíos había resuelto satisfactoriamente el problema de la cuadratura de Ciertas lúnulas con regla y compás, los primeros intentos directos documentados de solución de la cuadratura del círculo se deben a Dinóstrato (390-320 a.C.) y Arquímedes (287-212 a.C.) El primero, cuenta Proclo, utilizó la curva de Hipias, el segundo, la espiral llamada ‘de Arquímedes’ en su honor. No diremos nada acerca de el método de Dinóstrato Pero remitimos al lector a la detallada descripción en ‘A History of Mathematics’ de U. Merzbach, C.B. Boyer (página 87). Figura 3: cuadratura de Dinóstrato.En cuanto al método de Arquímedes, se encuentra en su tratado Acerca de la medición circular y consta de dos partes: en 1er sector, prueba que el área de un círculo es similar al área de un triángulo rectángulo con el radio del círculo De este modo tal como uno uno de sus catetos y la tangente a la circunferencia De exactamente la misma manera que el otro. Con este resultado el problema de cuadrar el círculo, en otros términos, de construir un segmento de longitud raiz cuadrada de π con regla y compás, se reduce a fabricar un segmento de longitud π. Ahora, prueba que la circunferencia de un círculo es mayor que 3+10/71 y menor que 3+10/70 del diámetro. Este resultado, que está dando estos dos números Del mismo modo que aproximación a π deja una solución aproximada al problema, con regla y compás. Se siguió trabajando en este problema en la Edad Media y en el Renacimiento. Destacan, en época medieval, el trabajo ‘De quadratura circuli’, de Franco de Lieja (S. XI) y las contribuciones de Nicolás de Cusa y Juan Regiomontano (siglo XV). En la Edad Moderna, Leonardo da Vinci se ocupó del problema, y De la misma forma Snellius y Huygens, los fundadores de la óptica geométrica. Este último lo estudió en su tratado De circuli magnitudine inventa, donde refina la aproximación a π dada por Arquímedes. En total, a finales del siglo XVIII el problema se había revestido de una aureola de prestigio, en parte a causa a lo sencillo de su formulación y en comunicado a causa a todos los nombres ilustrísimos que se habían dejado la piel en el sendero En medio veinte siglos. Llovían las ‘demostraciones’ de hinchas y tanto es De este modo que en 1775, la Academia de Ciencias de París dictaminó ese año no juzgar más ninguna solución a los inconvenientes de duplicación de cubos, trisección de ángulos o cuadratura de círculos, o bien cualquier máquina anunciada Al semejante que móvil perpetuo. (Historia de la Real Academia de Ciencias, año 1775. París, 1778, sección 61). …Quia impossibile
Y Si bien imposibles de solucionar utilizando tan Solo regla y compás, los tres incidentes bien se pueden notar el leitmotiv de una buena comunicado de la investigación matemática hasta el Renacimiento. Que cada uno dé su estimación; el presente cantautor, Después de haber dedicado cierta atención a este asunto, se mojará afirmando que estos incidentes y la busca de la solución de la quíntica por radicales configuraron el panorama matemático europeo hasta la aparición de Leibniz en prácticamente toda su totalidad. Pero dejando opiniones de lado, examinemos la idea de la imposibilidad. Nos centraremos en la duplicación del cubo y en la cuadratura del círculo. La idea fundamental es la siguiente: A) dos rectas cualesquiera que pasen por dos pares de puntos con coordenadas racionales se cortan, si es que lo están haciendo, en un punto con coordenadas racionales, expresado de otro modo, este punto satisface una ecuación lineal con coeficientes racionales. B) una recta que está pasando por dos puntos con coordenadas racionales corta a una circunferencia de centro y radio racional, si es que la corta, en dos puntos con coordenadas Por norma general ya no racionales Sino más bien más bien pueden contener algún irracional cuadrático (la ecuación genérica de un círculo es de grado 2). Es decir, los puntos de corte satisfacen una ecuación de 2do grado con coeficientes racionales. C) Dos circunferencias de centro y radio racionales se cortan, si lo están haciendo, en uno o bien dos puntos con coordenadas que pueden contener algún irracional cuadrático. Expresado de otro modo, los puntos de corte satisfacen una ecuación de primer o bien 2do grado. De esta manera las cosas, los puntos de intersección de A), B) o bien C) satisfacen una ecuación de grado 1 o bien 2. Si es que en seguida consideramos rectas o bien circunferencias que pasen por esos puntos de intersección, estos satisfarán ecuaciones de grado 1 o 2 no acerca de los números racionales Sino más bien acerca de una extensión de éstos, a saber, el grupo de todas y cada una y cada una de las expresiones racionales en las coordenadas anteriores y con coeficientes racionales. Este grupo es un cuerpo y cada elemento del mismo satisface una ecuación de grado 1, 2 o bien 4 con coeficientes racionales. La formalización del concepto número constructible por regla y compás se puede establecer en concepto de estas extensiones: podemos acotar número real constructible Del mismo modo que aquél que verifica una ecuación polinomial con coeficientes racionales de grado potencia de 2. De este modo las cosas, podemos finalizar inmediatamente que raíz cúbica de 2 no es constructible, a continuación el Problema de Delos es irresoluble. En lo que se refiere a la imposibilidad de la cuadratura del círculo, quedó probada en 1882 con el Teorema de Lindemann que asevera que π no es solución de ninguna ecuación polinomial con coeficientes racionales, lo que en matemáticas se expresa diciendo que π es trascendente. Los números que satisfacen alguna de estas ecuaciones, De exactamente la misma forma que por poner un ejemplo raíz cúbica de 2 se llaman algebraicos, En este sentido, todo número constructible es algebraico Sin embargo el recíproco, Según acabamos de ver, no es cierto. El origami y los tres inconvenientes griegos
A pesar de la imposibilidad de resolverlos, es tal la fascinación que estos inconvenientes han suscitado En medio generaciones que se han propuesto varias variantes en su formulación, relajando, por poner un ejemplo, el requerimiento de usar Solo regla y compás, que la regla sea sin marcar o bien cambiando la dimensión del objeto a triplicar. Por ejemplo, la duplicación del teseracto (cubo en dimensión 4) sí es posible por el hecho de que es equivalente a construir con regla y compás un segmento de longitud raíz 4ta de 2, que satisface una ecuación cuyo grado es una potencia de 2 y es en consecuencia constructible. Concluimos con un enfoque del que el autor ha tenido noticia recientemente y que merece señalarse por su originalidad y toque artístico: la cuadratura por medio de el arte japonés de la papiroflexia u origami. Existen reglas muy precisas En lo que se hace referencia a las operaciones permitidas de plegado. Son en concreto siete y nos referiremos a ellas Al parecido que los axiomas de Hatori-Huzita, que las introdujeron. Conforme demuestraron Auckley y Cleveland en 1995, los cinco primeros axiomas junto al séptimo son equivalentes a los requeridos para la construcción por regla y compás, no En este sentido el sexto, que es equivalente a trazar una tangente común a dos parábolas, de la que Alperin probó en 2001 que no es alcanzable Mediante regla y compás (ver ‘A mathematical theory of origami constructions and numbers’, ‘New York Journal of Mathematics’, 2000). De hecho, en el mismo artículo demuestra que los tres problemas son resolubles A través de operacions de origami. Figura 4: Duplicación Mediante origami.Por ejemplo, Según expone Antonio M. Oller en su trabajo Origami Constructions, para la duplicación del cubo basta apreciar un cuadrado de papel a cuyo lado vertical izquierdo vamos a llamar l1 y que dividiremos en tres partes iguales Según tres dobleces (o bien usando la regla). A la doblez superior le llamaremos l2 y a Los dos puntos de intersección de las dos otras dobleces con el lado izquierdo les llamaremos P1 y P2. Luego, si doblamos el papel de forma que hagamos llegar P1 a l1 y P2 a l2, el cociente X/Y es precisamente la raíz cúbica de 2, lo que se deja Como ejercicio para el lector. Iván Blanco Chacón es profesor e investigador en la Universidad de Alcalá de Henares. El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME).