Muchos de los artículos publicados en periódicos y revistas de matemática recreativa (y de otras temáticas) suelen destacar A veces aportaciones de los lectores, que proponen sugerencias, rebaten argumentos, expresan dudas, resuelven cuestiones planteadas, u ofrecen información relacionada con el asunto que se trate. En este ABCdario de las Matemáticas aparecen Ciertas en los comentarios, y otras nos llegan a los autores A través de correos electrónicos. Todas son leídas, y Algunas respondidas, No obstante desearíamos tener con de más tiempo para dedicarles mayor atención. Y es en realidad enriquecedor conocer e intercambiar ideas y opiniones en la mayor comunicado de las oportunidades. A finales de diciembre del pasado año, recibí uno de estos correos planteándome unas preguntas sobre un juego inventado por el remitente. Hoy les voy a describir dicho pasatiempo Porque una vez visto con determinado dato Me semeja de interés, acerca de todo por el mensaje definitivo que anhelo transmitirles, y pues creo que su cantautor merece que se conozca su invención, y nuestro aplauso. Ya antes les introduzco un par de conceptos en los que se basa, que seguramente conozcan La mayoría, Sin embargo que no está de más recordar muy esquemáticamente. Cuadrados mágicos
En reseñas previas ya hemos hablado de ellos (véanse un ejemplo y otro). Un cuadrado mágico es una disposición de números en un cuadrado (pueden ser consecutivos, Sólo pares, Sólo impares, Sólo primos, repetirse o bien no, etc., no hay restricción, Si es que bien los ‘clásicos’ son los consecutivos del 1 en adelante) de manera que todas y cada una las filas, todas las columnas, y las dos diagonales del cuadrado sumen exactamente el mismo valor (no Solo existen aditivos, Sino más bien más bien la intervención puede ser la multiplicación De la misma forma, llamándose en ese caso cuadrados mágicos multiplicativos). Lleva por nombre mandato del cuadrado mágico al número de casillas que tenga cada fila (o columna). Obviamente el de mandato uno es una trivialidad, de mandato dos (con los números del 1 al 4) no es posible esa predisposición, y la cosa inicia a ser interesante con orden tres, tratando de poseer con los números del 1 al 9 cumpliendo dichas reglas. Sólo hay una predisposición que lo verifica (no se cuentan giros ni simetrías; en la imagen pueden verlo en dos versiones, Sin embargo es exactamente el mismo cuadrado: en el 2do solamente se han colocado las filas del primero Tal como columnas, y de abajo cara arriba), y es famosa A partir de el 2200 a. C., el célebre Lo-Shu chino. Con orden cuatro, dicho de otro modo, disponiendo los números del 1 al 16, existen 880 configuraciones diferentes. Fue el matemático aficionado francés Bernard Frénicle de Bessy quien expuso esa cifra en la Academia de las Artes de París en 1676, y Philippe de La Hire el que hizo un listado de todos ellos en 1693. Se ha demostrado que existen 275305224 cuadrados mágicos de mandato 5, Sin embargo para órdenes mayores conocer su número necesario es un problema no resuelto (por ahora Solo se tienen estimaciones aproximadas). Uno de esos cuadrados mágicos, célebre por aparecer en el filmado Melancolía (1514) de Alberto Durero es el mostrado en la proxima imagen. Aparte de por indicar la fecha de realización del filmado en las casillas centrales inferiores, es singular pues hay 24 configuraciones diversos que suman 34, la constante mágica para los cuadrados de orden cuatro. Supongo que conocen por el hecho de que es precisamente 34: los números del 1 al 16 suman 136, y De la misma forma que hay que repartirlos entre cuatro filas, cada una debe incluir 136/4 = 34. No hay ningún misterio, por mucho que queramos sacárselo al adjetivo ‘mágica’. Las 24 configuraciones diversos son las siguientes: Hay alguna configuración más que suma 34, Al igual que es el movimiento del equino de ajedrez 3 – 8 – 14 – 9 y 2 – 12 – 15 – 5. No obstante nos vamos a centrar únicamente en las 24 reflejadas en la imagen previa. Si intercambiamos las columnas segunda y 3era del cuadrado mágico, obtenemos esta otra configuración: Es otro de los 880 posibles cuadrados mágicos de mandato cuatro, que continúa cumpliendo que las 24 configuraciones de cuatro cifras descritas anteriormente suman 34. Nos quedamos con este cuadrado mágico y esas configuraciones. Desde el punto de vista matemático, los cuadrados mágicos Siempre se han considerado un entretenimiento, una curiosidad sin mayor aplicación, salvo Tal y como base de ciertos trucos de magia. Cuadrados latinos
Un cuadrado latino (En este sentido denominado por Leonhard Euler cara 1779 solamente Porque empleó letras latinas en su composición) es una predisposición cuadrada de símbolos (pueden ser letras, números, colores, dibujos, cualquier cosa) en el que cada símbolo no se repite jamás en exactamente la misma fila o columna (matemáticamente cada fila o columna es una permutación distinta de los elementos de las otras). No hay ninguna operación aritmética (a diferencia de los cuadrados mágicos), simplemente se disponen los objetos de la manera descrita. Los sudokus son un ejemplo de cuadrado latino que utiliza los dígitos del 1 al 9. En la imagen aparece un cuadrado latino de orden cuatro con números y exactamente el mismo con colores. De mandato cuatro existen 576 cuadrados latinos distintos. Si es que añadimos la condición de que tampoco haya repetición en las dos diagonales (cuadrado latino diagonal), entonces hay únicamente 2 distintos (el mostrado Ya antes es uno de ellos, ¿podría el lector localizar el otro?). En contraste a los cuadrados mágicos, la teoría de cuadrados latinos constituye un campo activo de investigación matemática, al ser clave en la Resolución de determinado tipo de incidentes, y llevar intrínseca la estructura de conjunto. Hay muchas cuestiones abiertas (planteadas y sin resolver) que involucran este tipo de cuadrados. Los Fozudokus Antonio Pomares Olivares es un empleado retirado del servicio postal británico (Post Office) que vive en Londres A partir de hace más de medio centenar años. Con trece años permitió de estudiar, para ponerse a trabajar, con lo que sus conocimientos matemáticos son los básicos, Si bien se declara aficionado a las cuestiones de matemática recreativa, en especial de los cuadrados mágicos que le mostró su padre siendo un niño. En uno de sus veraneos en Foz (Lugo), concretamente en 2014, jugando con unos imanes de colores, se percata de la posibilidad de colocarlos en cuatro filas sin que se repita ninguno (la estructura de un cuadrado latino que hemos comentado) y lo une al cuadrado mágico de orden cuatro descrito anteriormente formando la proxima configuración (en la imagen, la composición que ha plasmado en la fachada de su casa gallega). a su vez, idea un algoritmo para producir el cuadrado Desde el mandato natural de las cifras con ellas ocultas y lo escenifica Del mismo modo que un truco de magia (no exactamente pues los magos no revelan sus métodos y Antonio sí, no tiene problema en explicarlas). En este video clip casero (A partir de el minuto 1:15), lo elabora. <iframe width=”560″ height=”315″ src=”https://www.youtube.com/embed/nmTkLVPZKp8″ title=”YouTube video player” frameborder=”0″ allow=”accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture” allowfullscreen style=”width:100%;height:100%;”></iframe> No hay duda de que dicho procedimiento es creación suya, por el hecho de que realmente la construcción de ese cuadrado es mucho más sencilla (Sin embargo menos increíble para hacerlo pasar Al igual que ‘algo mágico’, Desde después): el conocido tratamiento de la X para componer cuadrados mágicos de mandato par es mucho más fácil. Se trata de poner, bien empezando Desde arriba, o bien Desde abajo, da lo mismo (lo muestro A partir de abajo para que quede semejante que el suyo), los números naturales en su mandato frecuente Sólo en las diagonales del cuadrado, De exactamente la misma manera que se ve en la imagen. Después hacemos una segunda pasada A partir de arriba colocando, Además en su orden natural, los números que faltan (en color rojo). Así, con Sólo dos pasos, construimos el cuadrado, mucho más sencillo y veloz que el tratamiento de Antonio que Lo hace en tres pasos y con unos cambios bastante enrevesados. Entre los amigos a los que se lo cuenta y él mismo, deciden ‘bautizar’ al cuadrado con La denominación del pueblo en el que están, y lo llaman ‘Cuadrado mágico de Foz’. Bien, hasta acá, nada que no fuese conocido. La segunda parte es la interesante, y a mi juicio, novedosa (al menos yo no la he localizado en ninguna otra comunicado; la ha denominado Fozudoku). Traslada la idea a una baraja de cartas, en la que ahora los números son los valores de la carta, y los colores los palos (copas, espadas, oros y bastos). En general utilizamos la baraja española de 40 barajas, Pero él añade las necesarias para jugar al póquer, o bien sea, agrega los ochos y nueves, por lo que tenemos 48 cartas, del 1 al 12 de cada palo. Con ellas puede realizar tres cuadrados mágicos de mandato cuatro. Ojo: cuadrados mágicos de cartas, no numéricos. Es decir, en cada cuadrado mágico, las filas, columnas y diagonales van a ser cartas distintas, entendiendo por distintas, de diferente valor numérico y diferente palo, por el hecho de que necesariamente con cuatro ases, por poner un ejemplo, para Sólo tres cuadrados, evidentemente en alguno se repite el valor numérico. Es más, va a exigir, De exactamente la misma forma que ocurre con el cuadrado mágico de Durero y su variante, que haya otras combinaciones con exactamente la misma suma. En concreto, exactamente las mismas 24 que se indicaron arriba. Con estas condiciones, Antonio ha ideado un algoritmo de cinco pasos, en el que se pueden poseer todas y cada una las cartas de la baraja con esas condiciones, de modo que el 1er cuadrado sume 22, el segundo 26 y el tercero 30. Tras colocadas todas ellas boca abajo (sin verse) por medio de ese algoritmo, se descubren cinco, y Desde ellas, Versa de intentar adivinar cuál es cada carta tapada. Un buen pasatiempo (igual al Sudoku, en el que a su vez hay que hacer sumas) que atrae la atención de niños de primaria y personas mayores en los lugares en los cuales lo ha explicado (colegios, asociaciones, entre otros). Cuestiones matemáticas
Inmediatamente surgen Ciertas cuestiones. ¿Cuántos cuadrados mágicos de esta clase se pueden realizar? ¿Es obligatorio destapar cinco para resolverlos? ¿Se podría con menos? ¿Se podrían elaborar otras tripletas en las que el monto de los cuadrados fuera distinto? ¿Se pueden ubicar otros algoritmos que construyan Fozudokus de esta clase? Los valores numéricos que se repiten en los que ha construido (que no las cartas, volvemos a aclarar) son (1, 2, 3, 4) para el primero, (5, 6, 7, 8) para el 2do y (9, 10, 11, 12) para el tercero. ¿Podrían componerse con otras repeticiones diferentes? Antonio Pomares ha pensado De la misma forma en estos y otros interrogantes. Por el momento está centrado en ubicar cuántos hay del tipo que ha ideado. Hasta el momento ha compuesto 365 posibilidades diversos, No obstante no sabe si es que son todas y cada una de las posibles o bien puede haber más. Recordemos que su método de trabajo, dados sus conocimientos matemáticos, es el de ensayo y descarte. Seguro que entre los lectores pueden estrecharle alguna indicación o bien consejo para resolver su pregunta. Antonio También ha pensado distintos variantes. Por poner un ejemplo, sobre de qué forma utilizar esto De La misma manera que juego entre dos, no Solo Al similar que solitario: se proponen las cinco cartas de cada uno de los tres cuadrados (quedan 33 por poner), se reparten 10 cartas a cada Deportista, quedando un mazo con 13 cartas que se colocan boca abajo encima de la mesa. Alternativamente, cada Jugador coloca una carta sobre los cuadrados de pacto con las normas, y en el instante no puede (o no sabe) colocar ninguna de las que le quedan, roba del mazo hasta la fecha en que encuentre una que pueda poner. El ganador es, evidentemente, el Jugador que primero termine de colocar todas y cada una sus cartas. No obstante, ha ido refinando las reglas A partir de las vivencias de personas que han practicado el juego que le han ido llegando, Puesto que, con un poco de práctica de Ambos jugadores, esas condiciones llevan Siempre y en todo momento y en toda circunstancia y en todo momento a las tablas. Asimismo, ha adaptado la idea a la baraja de póquer francesa, e ideado una variación para cruces y estrellas mágicas. Y ha desarrollado un caso Todavía más complejo en el que los Fozudokus deben verificar 36 combinaciones distintas, en lugar de las 24 mencionadas. Lo ha denominado ‘Fozudoku del muro’, y la solución parece ser única. Toda la data, detalles, videos ejemplo, ficheros con todas y cada una de las posibilidades, absolutamente todo lo que ha ido deduciendo lo comparte en Varios idiomas en este enlace. Para terminar
Es evidente que juegos Asimismo que éste son un buen ejercicio, tanto para niños Al idéntico que para adultos, ayudando a desarrollar y ceñir nuestra agilidad mental. No obstante, acerca de todo, ha sido, y es, un reto personal para el propio Antonio, un aliciente con el que ocupar y gozar de las horas del día, aportando a su vez algo provechoso para todo el planeta. Las matemáticas (También otras disciplinas, De esta manera tal y como la literatura, la historia, la pintura, la música, realmente cualquier actividad humana) dejan a las personas examinar, aprender y compartir conocimiento. La diferencia es que Algunas requieren más esfuerzo o bien aptitudes específicas (leer mucho, redactar bien, disponer buen oído, etc.) y paradójicamente, A pesar de ser considerada una disciplina compleja, las matemáticas tienen muchos niveles de profundización, y Además que vemos, con poquita cosa, con contenidos muy sencillos, podemos adentrarnos, con ingenio y perseverancia, en temas apasionantes y relevantes aun. Con los Fozudokus, Además de actividades en ciertos centros educativos de Foz, de Alicante (la ciudad natal de Antonio; por poner un ejemplo, en la Asociación de Vecinos El Templete de Benalúa), de Londres (incluyendo un centro de sordomudos), este pasatiempo ha sido utilizado en el ‘Festival Matemático Julia Robinson’, un crucero virtual por 22 países de Iberoamérica en que se trabajaron diferentes aspectos de las matemáticas A partir de juegos, celebrado el pasado mes de abril. Debido a la colaboración de amigos, vecinos y otras personas, esta iniciativa se marcha abriendo sendero, Durante las redes, de los medios de comunicación, etc. ¡¡Que cunda el ejemplo!! Alfonso Jesús Población Sáez es maestro de la Universidad de Valladolid y miembro de la Comisión de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española (RSME). El ABCdario de las Matemáticas es una sección que surge de la colaboración con la Comisión de Divulgación de la RSME.